東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) $-1<k<1$ より $1-k^2>0$ である。$$\overrightarrow{f}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$$ の両辺に $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ をそれぞれ内積すると$$\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{a}=p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a})+q(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})=p+kq$$および$$\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{b}=p(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+q(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b})=kp+q$$を得る。これを $p,q$ について解くと$$p={\displaystyle \frac{\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{a}-k\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{b}}{1-k^2}},q={\displaystyle \frac{\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{b}-k\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{a}}{1-k^2}}$$である。

(2)
まず $$(\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=k-k=0$$ であり、$$(\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b})=1-2k^2+k^2=1-k^2$$である。また $$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b})=1-k^2>0$$ だから、向きの条件 $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}>0$$ を満たす単位ベクトルは$$\overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}}{\sqrt{1-k^2}}}$$である。

同様に、$$(\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{a}=0,(\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}{)}^2=1-k^2$$であり、さらに $$\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a})=1-k^2>0$$ である。よって$$\overrightarrow{d}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}}{\sqrt{1-k^2}}}$$である。

(3)
(2)の式を用いると$$\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{c}=(p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b})\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}}{\sqrt{1-k^2}}}={\displaystyle \frac{p(1-k^2)+q(k-k)}{\sqrt{1-k^2}}}=p\sqrt{1-k^2}$$である。同様に$$\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{d}=(p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b})\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}}{\sqrt{1-k^2}}}=q\sqrt{1-k^2}$$である。$$\overrightarrow{g}=r\overrightarrow{c}+s\overrightarrow{d}$$ だから、$$\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{g}=r(\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{c})+s(\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{d})=\sqrt{1-k^2}(pr+qs)$$である。

条件・検算

向きを決める内積の正条件を使って単位ベクトルの符号を一意に確定した。

$\vec{a}$ を $x$ 軸方向に取り、$\vec{b}$ を内積条件から座標表示する。$\vec{c},\vec{d}$ の向きは正の内積条件で確定し、$\vec{f},\vec{g}$ の座標を直接掛け合わせる。

(1) $$\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(k,\sqrt{1-k^2})$$とおく。これは $-1<k<1$ と内積条件を満たす。
$\vec{f}=p\vec{a}+q\vec{b}$ だから$$\vec{f}=(p+kq,q\sqrt{1-k^2})\mathrm{.}$$一方、$$\vec{f}\cdot \vec{a}=p+kq,\vec{f}\cdot \vec{b}=kp+q$$である。これを解いて$$p={\displaystyle \frac{\vec{f}\cdot \vec{a}-k\vec{f}\cdot \vec{b}}{1-k^2}},q={\displaystyle \frac{\vec{f}\cdot \vec{b}-k\vec{f}\cdot \vec{a}}{1-k^2}}\mathrm{.}$$(2)
$\vec{b}$ に垂直で $\vec{a}$ との内積が正の単位ベクトルは$$\vec{c}=(\sqrt{1-k^2},-k)={\displaystyle \frac{\vec{a}-k\vec{b}}{\sqrt{1-k^2}}}\mathrm{.}$$また $\vec{a}$ に垂直で $\vec{b}$ との内積が正の単位ベクトルは$$\vec{d}=(0,1)={\displaystyle \frac{\vec{b}-k\vec{a}}{\sqrt{1-k^2}}}\mathrm{.}$$(3)$$\vec{g}=r\vec{c}+s\vec{d}=(r\sqrt{1-k^2},-rk+s)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \vec{f}\cdot \vec{g}}& {\displaystyle =(p+kq)r\sqrt{1-k^2}+q\sqrt{1-k^2}(-rk+s)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{1-k^2}(pr+qs)\mathrm{.}}\end{array}$$