東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

12個の玉を取り出す順番を最初から最後まで考える。このとき、赤玉が現れる3つの位置だけに注目すればよい。赤玉の位置の選び方は $${}_{12}{\mathrm{C}}_3=220$$ 通りであり、どれも同様に確からしい。 $A$ 君は1番目、3番目、5番目、$\dots$ に取り出し、$B$ 君は2番目、4番目、6番目、$\dots$ に取り出す。したがって $B$ 君が勝つのは、最初の赤玉が偶数番目に現れるときである。

最初の赤玉が $2r$ 番目に現れるとする。このとき、$2r$ 番目より前には赤玉がなく、残り2個の赤玉は $2r+1,2r+2,\dots ,12$ の中から選ばれる。したがって、その選び方は ${}_{12-2r}{\mathrm{C}}_2$ 通りである。$r=1,2,\dots ,6$ としてよいが、$r=6$ の項は ${}_0{\mathrm{C}}_2=0$ である。

有利な場合の数は$$\sum _{r=1}^6{}_{12-2r}{\mathrm{C}}_2={}_{10}{\mathrm{C}}_2+{}_8{\mathrm{C}}_2+{}_6{\mathrm{C}}_2+{}_4{\mathrm{C}}_2+{}_2{\mathrm{C}}_2$$である。これを計算すると $45+28+15+6+1=95$ である。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{95}{220}}={\displaystyle \frac{19}{44}}$$ である。したがって ${\displaystyle \frac{19}{44}}$ である。

条件・検算

勝敗は最初の赤玉の位置だけで決まる。赤玉3個の位置の全組合せ220通りに対し、有利な95通りを数えているので確率は ${\displaystyle \frac{19}{44}}$ である。

B君の第 $r$ 手、すなわち全体の $2r$ 回目で初めて赤が出る確率を直接計算し、可能な手番について加える。

B君が勝つには、ある $r$ について最初の $2r-1$ 個がすべて白で、$2r$ 個目が赤であればよい。各 $r$ の確率は順に$$\begin{array}{cccccc}r& 1& 2& 3& 4& 5\\ P(\text{初赤が }2r\text{ 番目})& {\displaystyle \frac{9}{44}}& {\displaystyle \frac{7}{55}}& {\displaystyle \frac{3}{44}}& {\displaystyle \frac{3}{110}}& {\displaystyle \frac{1}{220}}\end{array}$$となる。例えば $r=2$ なら$${\displaystyle \frac{9}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{7}{55}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{9}{44}}+{\displaystyle \frac{7}{55}}+{\displaystyle \frac{3}{44}}+{\displaystyle \frac{3}{110}}+{\displaystyle \frac{1}{220}}={\displaystyle \frac{19}{44}}\mathrm{.}$$