東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

まず条件 $$\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{b}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ を展開する。 $$\mathrm{\mid }\vec{b}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ であり、$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=1$ だから $${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-2\vec{a}\cdot \vec{b}+1$$ である。したがって $$\vec{a}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }k\vec{a}+l\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =k^2\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+2kl\vec{a}\cdot \vec{b}+l^2\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k^2+kl+{\displaystyle \frac{l^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $k^2+kl$ は常に整数である。よって全体が整数であるための必要十分条件は ${\displaystyle \frac{l^2}{2}}\text{ が整数であること}$ である。これは $l^2$ が偶数であること、すなわち $l$ が偶数であることと同値である。したがって必要十分条件は $l\text{ が偶数}$ である。

(2)
上の式を平方完成すると $$\mathrm{\mid }k\vec{a}+l\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2={(k+{\displaystyle \frac{l}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{l^2}{4}}$$ である。右辺は2つの平方の和であり、$0$ になるには $${\displaystyle \frac{l^2}{4}}=0,k+{\displaystyle \frac{l}{2}}=0$$ でなければならない。よって $l=0,k=0$ である。したがって $(k,l)=(0,0)$ だけである。

(3) $(k,l)\mathrm{\ne }(0,0)$ とする。 $l=0$ のときは $\mathrm{\mid }k\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=k^2$ なので、最小値は $1$ である。 $\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }=1$ のときは ${(k+{\displaystyle \frac{l}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。$l=1$ なら $k=0,-1$ のとき、$l=-1$ なら $k=0,1$ のとき、$${(k+{\displaystyle \frac{l}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ となる。したがって値は $${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。 $\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\geqq 2$ のときは ${\displaystyle \frac{l^2}{4}}\geqq 1$ なので、値は少なくとも $1$ である。したがって全体の最小値は $1\mathrm{/}2$ であり、それを与える組は $(0,1),(-1,1),(0,-1),(1,-1)$ である。

条件・検算

必要十分性の両向きを偶奇で確認し、最小値では $\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\geqq 2$ の全範囲を評価して候補漏れを防いだ。