東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

条件(i)は $$(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\overrightarrow{e}$$ である。条件(ii)は$$(1-t)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e})=t(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{e})$$であるから、整理して $$(1-t)\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}=(2t-1)\overrightarrow{e}$$ となる。

この2式を加えると $$2(1-t)\overrightarrow{a}=2t\overrightarrow{e}$$ であるから $$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{t}{1-t}}\overrightarrow{e}$$ である。また、2式を引くと $$2t\overrightarrow{b}=2(1-t)\overrightarrow{e}$$ であるから $$\overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1-t}{t}}\overrightarrow{e}$$ である。

ここで $$A={\displaystyle \frac{t}{1-t}},B={\displaystyle \frac{1-t}{t}}$$ とおく。$$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ より $A<B$ である。また$$\overrightarrow{x}=u\overrightarrow{e}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{e}=0$$と分解する。このとき$$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}=(u-A)\overrightarrow{e}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b}=(u-B)\overrightarrow{e}+\overrightarrow{v}$$である。

垂直条件より$$\{(u-A)\overrightarrow{e}+\overrightarrow{v}\}\cdot \{(u-B)\overrightarrow{e}+\overrightarrow{v}\}=0$$である。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }=1$、$\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{e}$ だから $$(u-A)(u-B)+\mathrm{\mid }\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2=0$$ である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2=(u-A{)}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2=(u-A{)}^2-(u-A)(u-B)=(u-A)(B-A)$$であり、同様に$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=(u-B{)}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{v}{\mathrm{\mid }}^2=(B-u)(B-A)$$である。

長さの比が$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=t:(1-t)$$であるから、2乗して $${\displaystyle \frac{(u-A)(B-A)}{(B-u)(B-A)}}={\displaystyle \frac{t^2}{(1-t{)}^2}}$$ である。$B-A>0$ を約分すると $${\displaystyle \frac{u-A}{B-u}}={\displaystyle \frac{t^2}{(1-t{)}^2}}$$ である。よって $(1-t{)}^2(u-A)=t^2(B-u)$ となり、$$\{(1-t{)}^2+t^2\}u=(1-t{)}^{2}A+t^{2}B$$ である。

ここで$$(1-t{)}^{2}A+t^{2}B=(1-t{)}^2\cdot {\displaystyle \frac{t}{1-t}}+t^2\cdot {\displaystyle \frac{1-t}{t}}=2t(1-t)$$である。したがって $$u={\displaystyle \frac{2t(1-t)}{(1-t{)}^2+t^2}}={\displaystyle \frac{2t(1-t)}{2t^2-2t+1}}$$ である。

求める内積は$$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{e}=(u\overrightarrow{e}+\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{e}=u$$なので、$$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{e}={\displaystyle \frac{2t(1-t)}{2t^2-2t+1}}$$である。

条件・検算$$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ により $A<B$ で、距離比の2乗から得る分母も正である。端点へ近づく極限でも式が有限であることを確認できる。

単位ベクトル $\overrightarrow{e}$ を第1軸にとり、$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ を実数座標 $A,B$ で表す。点 $\overrightarrow{x}$ の座標を $(u,v)$ とすると、直交条件は直径 $AB$ の円、距離比はアポロニウスの条件になる。2式から $u=\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{e}$ を直接求める。

条件(i)(ii)の和と差から$$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{t}{1-t}}\overrightarrow{e},\overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1-t}{t}}\overrightarrow{e}$$を得る。そこで$$A={\displaystyle \frac{t}{1-t}},B={\displaystyle \frac{1-t}{t}}$$とおき、$\overrightarrow{e}$ 方向を第1軸とする直交座標で$$\overrightarrow{x}=(u,v)$$と表す。求める内積は $u$ である。

$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}$ と
$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b}$ が直交するので$$(u-A)(u-B)+v^2=0.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(u-A{)}^2+v^2=(u-A)(B-A),}\\ {\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(u-B{)}^2+v^2=(B-u)(B-A)\mathrm{.}}\end{array}$$距離比を2乗すると$${\displaystyle \frac{u-A}{B-u}}={\displaystyle \frac{t^2}{(1-t{)}^2}}\mathrm{.}$$よって$$\{(1-t{)}^2+t^2\}u=(1-t{)}^{2}A+t^{2}B=2t(1-t)$$であり、$$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{e}=u={\displaystyle \frac{2t(1-t)}{2t^2-2t+1}}\mathrm{.}$$