東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

まず $x^2-6x+y^2+5\leqq 0$ は $(x-3{)}^2+y^2\leqq 4$ である。したがって $D$ は中心 $(3,0)$，半径2の円板のうち，直線 $x+y=5$ の下側 $x+y\leqq 5$ にある部分である。直線 $x+y=5$ はこの円と $(3,2),(5,0)$ で交わるので，図示では円板からこの直線の上側の弓形部分を取り除いた領域になる。

次に，曲線 $x^2+y^2-2ax-2y+a^2=0$ は $(x-a{)}^2+(y-1{)}^2=1$ である。すなわち，中心を $C(a,1)$ とする半径1の円である。この円が $D$ の点を通ることは，点 $C(a,1)$ から $D$ までの距離が1以下であることと同値である。

最小値を考える。左側へ動かすと，制限になるのは円板 $(x-3{)}^2+y^2\leqq 4$ との接触である。半径2の円板と半径1の円がちょうど外接するとき，2つの中心の距離は3である。よって $$\sqrt{(a-3{)}^2+(1-0{)}^2}=3$$ となる。最小側なので $a<3$ として $(3-a{)}^2=8$ より $a=3-2\sqrt{2}$ である。このときの接点は，中心 $(3,0)$ から $(a,1)$ へ向かう線分上にあり，具体的には $(3-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$ である。この点は $x+y<5$ を満たすので，直線による切り取りの外には出ていない。したがって最小値は ${\displaystyle 3-2\sqrt{2}}$ である。

最大値を考える。円板だけを見れば中心間距離が3以下という条件で足りるが，右上側は直線 $x+y=5$ によって切られている。したがって最大側では半径1の円が直線 $x+y=5$ に接するときが限界である。中心 $(a,1)$ からこの直線までの距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a+1-5\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$ であり，最大側では $a>4$ だから $${\displaystyle \frac{a-4}{\sqrt{2}}}=1$$ となる。よって $a=4+\sqrt{2}$ である。このときの接点は $(4+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$ で，これは直線 $x+y=5$ 上の線分 $(3,2)$ から $(5,0)$ の間にある。したがって $D$ の境界上の点であり，条件を満たす。

以上より，求める $a$ の最小値と最大値は ${\displaystyle 3-2\sqrt{2},4+\sqrt{2}}$ である。

領域 $D$ の各点を中心とする半径1の円板を考える。中心 $(a,1)$ がその合併に入る条件を、水平線 $y=1$ 上への射影として調べる。

求める円の中心を $C_a=(a,1)$ とする。この円が $D$ の点を通るための必要十分条件は$$\mathrm{dist}(C_a,D)\leqq 1$$である。したがって、$D$ を半径1だけ外側へ広げた領域と直線 $y=1$ との交わりを調べればよい。

左端では $D$ の円弧部分が効く。円板 $D$ のもとの円の中心は $O=(3,0)$、半径は2なので、$C_a$ が左側の限界にあるとき$$O{C}_a=2+1=3.$$よって$$(a-3{)}^2+1=9$$となり、左側の解から$$a=3-2\sqrt{2}$$を得る。このとき接点は切断直線 $x+y=5$ の下側にある。

右端では $D$ の境界線分 $x+y=5$ が効く。$C_a$ からこの直線までの距離が1となるから$${\displaystyle \frac{a+1-5}{\sqrt{2}}}=1,$$したがって$$a=4+\sqrt{2}\mathrm{.}$$垂線の足は$$(4+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$$で、線分 $(3,2)$ と $(5,0)$ の間にある。

中心 $C_a$ は直線 $y=1$ 上を連続に動き、広げた領域との交わりもこの2点の間で途切れない。よって$$3-2\sqrt{2}\leqq a\leqq 4+\sqrt{2}$$であり、最小値・最大値はそれぞれ両端である。