東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

辺 AC は A(0,0)、$C(1,\sqrt{3})$ を通るので $y=\sqrt{3}x$ である。したがって水平線 $y=a$ との交点の x 座標は $$x={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$$ である。

また、辺 BC は B(2,0)、$C(1,\sqrt{3})$ を通るので $y=-\sqrt{3}(x-2)$ である。よって $y=a$ との交点の x 座標は $$x=2-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$$ である。したがって P(x,a) が三角形 ABC に含まれるための範囲は $${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\leqq x\leqq 2-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$$ である。

(2) $P=(x,a)$ とする。各距離の平方は $$A{P}^2=x^2+a^2,B{P}^2=(x-2{)}^2+a^2,C{P}^2=(x-1{)}^2+(a-\sqrt{3}{)}^2$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2}& {\displaystyle =x^2+(x-2{)}^2+(x-1{)}^2+3a^2-2\sqrt{3}a+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(x-1{)}^2+3a^2-2\sqrt{3}a+5}\end{array}$$である。

(1) の範囲について、$0\leqq a\leqq \sqrt{3}$ だから ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\leqq 1\leqq 2-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$ であり、$x=1$ は常に許される。よって最小値は $3a^2-2\sqrt{3}a+5$ であり、そのとき $x=1$ である。

(3)

(2) より、P が三角形内を動くときの最小値は $3a^2-2\sqrt{3}a+5$ を $0\leqq a\leqq \sqrt{3}$ で最小にする問題になる。平方完成すると $$3a^2-2\sqrt{3}a+5=3{(a-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})}^2+4$$ である。$a=\sqrt{3}\mathrm{/}3$ は指定範囲に含まれるので、最小値は $4$ であり、そのとき $$P=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$ である。

3頂点からの距離の平方和は、重心 $G$ で最小になる。

3頂点の重心 $G$ に対する恒等式 $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$ を使う。水平線上では $G$ に最も近い点、三角形全体では $G$ 自身が最小を与える。

(1) 辺 $AC,BC$ の方程式は$$y=\sqrt{3}x,y=-\sqrt{3}(x-2)$$だから、$P(x,a)$ が三角形内にある条件は$${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\leqq x\leqq 2-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$(2) 三角形の重心を$$G=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$とする。任意の点 $P$ に対し$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$$である。$P=(x,a)$ とすれば$$P{G}^2=(x-1{)}^2+{(a-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})}^2\mathrm{.}$$(1)の区間には常に $x=1$ が含まれるので、最小は $x=1$ のときである。直接整理すると最小値は$$3a^2-2\sqrt{3}a+5.$$(3) 重心 $G$ は三角形の内部にあるから、三角形全体では $P=G$ が最小を与える。このとき$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=4.$$したがって最小値は $4$、そのとき$$P=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$$である。