東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1) $b=2$ のとき、B の頂点は (0,0),(2,0),(0,1) である。A+B の外側の頂点は、頂点同士の和から $(0,0),(3,0),(2,1),(0,2)$ となる。したがって A+B はこの4点を頂点にもつ四角形である。

頂点をこの順に並べて面積を求めると $$\mathrm{\mid }A+B\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\{3\cdot 1+2\cdot 2\}={\displaystyle \frac{7}{2}}$$ である。

(2)

まず $$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{b}{2}}$$ である。 $b\geqq 1$ のとき、A+B の頂点は $(0,0),(1+b,0),(b,1),(0,2)$ である。よって面積は $$\mathrm{\mid }A+B\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3b+1}{2}}$$ である。この場合、示すべき不等式は両辺が非負なので、2乗して $${\displaystyle \frac{3b+1}{2}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{2}}}$$ すなわち $3b+1\geqq 1+b+2\sqrt{b}$ である。これは $$b\geqq \sqrt{b}$$ と同値であり、$b\geqq 1$ で成り立つ。 $0<b\leqq 1$ のとき、A+B の頂点は $(0,0),(1+b,0),(1,1),(0,2)$ である。よって $$\mathrm{\mid }A+B\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{b+3}{2}}$$ である。同様に2乗して整理すると、示すべきことは $b+3\geqq 1+b+2\sqrt{b}$ すなわち $$1\geqq \sqrt{b}$$ であり、$0<b\leqq 1$ で成り立つ。

以上より、すべての $b>0$ に対して $$\sqrt{\mathrm{\mid }A+B\mathrm{\mid }}\geqq \sqrt{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}+\sqrt{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}$$ が示された。

$b=1$ を境に、$A+B$ の外周に現れる頂点が入れ替わる。