東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$\theta =\mathrm{\angle }POA$ とし、楕円上の点 P を $$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ と表す。このとき $r=OP$ である。楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$$ に代入すると $${\displaystyle \frac{r^2{\cos }^2\theta }{4}}+{\displaystyle \frac{r^2{\sin }^2\theta }{9}}=1$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{1}{O{P}^2}}={\displaystyle \frac{1}{r^2}}={\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{4}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{9}}$$である。

ここで $P_k$ は $${\theta }_k={\displaystyle \frac{k\pi }{n}}(k=1,2,\dots ,n)$$ に対応する。よって求める極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{{\cos }^2(k\pi \mathrm{/}n)}{4}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^2(k\pi \mathrm{/}n)}{9}})$$である。これは区間 $[0,\pi ]$ 上の平均値に等しく$${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }({\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{4}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{9}})d\theta$$となる。

また$${\int }_0^{\pi }{\sin }^2\theta d\theta ={\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta d\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。したがって極限は$${\displaystyle \frac{1}{\pi }}({\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}})={\displaystyle \frac{13}{72}}$$である。

等角度で取った $P_k$ に対する $1\mathrm{/}O{P}_k^2$ の平均はリーマン和になる。

楕円の極方程式から $1\mathrm{/}O{P}_k^2$ を求めた後、${\sin }^2\theta =(1-\cos 2\theta )\mathrm{/}2$ と1の $n$ 乗根の和を使い、各有限和を厳密に $n\mathrm{/}2$ とする。

$$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ とおく。楕円の式から$${\displaystyle \frac{1}{r^2}}={\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{4}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{9}}\mathrm{.}$$よって求める平均は$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\{{\displaystyle \frac{{\cos }^2(k\pi \mathrm{/}n)}{4}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^2(k\pi \mathrm{/}n)}{9}}\}\mathrm{.}$$$n\geqq 2$ では$$\sum _{k=1}^n\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}=0$$だから$$\sum _{k=1}^n{\cos }^2{\displaystyle \frac{k\pi }{n}}={\displaystyle \frac{n}{2}},\sum _{k=1}^n{\sin }^2{\displaystyle \frac{k\pi }{n}}={\displaystyle \frac{n}{2}}\mathrm{.}$$したがって各 $n\geqq 2$ で平均はすでに$${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{13}{72}}$$である。よって極限も$${\displaystyle \frac{13}{72}}$$となる。