東北大学 2017年度
後期・文理共通数学 後期 文系第4問・理系第5問

解答

解法1

(1)

$x+y=r$とおくと，等式は $2r+z=n$ となる。$r$が決まれば$z=n-2r$であり，$(x,y)$は $(x,y)=(0,r),(1,r-1),\dots ,(r,0)$ の$r+1$通りである。 $n=4$のときは$r=0,1,2$であるから $1+2+3=6$ 通りである。$n=5$のときも$r=0,1,2$であるから $1+2+3=6$ 通りである。

(2)

$m=\lfloor n/2\rfloor$とおくと，$r$は $0,1,2,\dots ,m$ を動く。したがって総数は ${\sum }_{r=0}^m(r+1)=\frac{(m+1)(m+2)}{2}$ である。すなわち，$n=2m$または$n=2m+1$のとき，いずれも $\frac{(m+1)(m+2)}{2}$ 通りである。

(3)

(2)の結果を，右辺が$0,1,2,\dots ,n$の場合について足し上げる。 $n=2m$のとき，右辺$2r$の場合と$2r+1$の場合の個数は同じ $\frac{(r+1)(r+2)}{2}$ である。よって総数は

である。ここで ${\sum }_{r=0}^m\frac{(r+1)(r+2)}{2}=\frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{6}$ を用いると，総数は $\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}$ である。 $n=2m+1$のときは，$0,1$，$2,3$，$\dots$，$2m,2m+1$の各組で個数が等しいので $2{\sum }_{r=0}^m\frac{(r+1)(r+2)}{2}=\frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}$ である。

解法2

(1), (2)

$x+y=r$とすると$z=n-2r$であり，$(x,y)$は$r+1$通りである。よって$m=\lfloor n/2\rfloor$として

特に$n=4,5$ではともに$m=2$なので6通りである。

(3)

余り$w\geqq 0$を導入すると

$x+y=r$を固定すると，$(x,y)$は$r+1$通り，$(z,w)$は$n-2r+1$通りである。したがって総数は

$n=2m$なら

$n=2m+1$なら