東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

$z=x+yi$とおく。すると $$z^3=(x^3-3x{y}^2)+i(3x^{2}y-y^3),\bar{z}+a=(x+a)-yi$$ である。実部と虚部を比較して $$x^3-3x{y}^2=x+a,3x^{2}y-y^3=-y$$ を得る。虚部の式は $y(3x^2-y^2+1)=0$ である。

(1) $a=0$とする。まず$y=0$の場合，実部の式は $x^3=x$ であるから $x=-1,0,1$ である。よって $z=-1,0,1$ を得る。

次に$y\mathrm{\ne }0$の場合，$y^2=3x^2+1$ である。これを実部の式に代入し，$a=0$を用いると $x^3-3x(3x^2+1)=x$ すなわち $-8x^3-4x=0$ である。よって$x=0$であり，$y^2=1$から$y=\pm 1$である。したがって $z=i,-i$ を得る。

以上より，求める解は $z=-1,0,1,i,-i$ である。

(2) $y\mathrm{\ne }0$の場合を一般の$a$で調べる。$y^2=3x^2+1$を実部の式に代入すると $x^3-3x(3x^2+1)=x+a$ より $a=-8x^3-4x$ である。右辺を$x$の関数と見ると導関数は $-24x^2-4<0$ であるから，任意の実数$a$に対して$x$はただ1つ定まる。そのとき $$y=\pm \sqrt{3x^2+1}$$ であり，非実数解は常に2個ある。

したがって，全体の解がちょうど5個になるためには，$y=0$の場合の実数解が相異なる3個あればよい。$y=0$の場合は $x^3-x-a=0$ である。$h(x)=x^3-x$とおくと $h^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-1$ であり，$x=-1\mathrm{/}\sqrt{3}$で極大，$x=1\mathrm{/}\sqrt{3}$で極小をとる。値は$$h(-\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{2}{3\sqrt{3}},h\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$$である。

よって方程式$h(x)=a$が相異なる3個の実数解をもつ条件は $$-\frac{2}{3\sqrt{3}}<a<\frac{2}{3\sqrt{3}}$$ である。このとき非実数解2個と合わせて解はちょうど5個になる。

(1) は極形式で$z^3=\bar{z}$を解く。(2)は実数解と非実数解を別々のグラフの交点として数え，非実数解が常に共役な2個，実数解が開区間内で3個になる条件を求める。

(1) $a=0$のとき$z^3=\bar{z}$である。$z=0$は解である。$z\mathrm{\ne }0$なら両辺に$z$を掛けて$$z^4=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$$を得る。$z=r{e}^{i\varphi }(r>0)$とすると$r^4{e}^{4i\varphi }=r^2$だから$r=1$，$e^{4i\varphi }=1$である。よって$$z=1,i,-1,-i$$であり，$z=0$と合わせて5個である。

(2) $z=x+yi$として実部・虚部を比較すると$$y(3x^2-y^2+1)=0.$$$y=0$では$$a=x^3-x\mathrm{.}$$一方$y\mathrm{\ne }0$では$y^2=3x^2+1$であり，実部へ代入して$$a=-8x^3-4x$$を得る。右辺を$k(x)$とすると，$x_2>x_1$に対して$$k(x_2)-k(x_1)=-(x_2-x_1)\{8(x_2^2+x_1{x}_2+x_1^2)+4\}<0.$$したがって任意の$a$に対して$x$はただ1つ，対応する$y$は正負の2つであり，非実数解は常に2個である。

実数解が3個になる条件を調べる。$h(x)=x^3-x$の極大値・極小値は$$h(-\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{2}{3\sqrt{3}},h\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$$である。したがって直線$y=a$がグラフと異なる3点で交わる条件は$$-\frac{2}{3\sqrt{3}}<a<\frac{2}{3\sqrt{3}}\mathrm{.}$$このとき実数解3個と非実数解2個を合わせてちょうど5個になる。