東北大学 2017年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$3 ≦ k < n$ を満たす整数 $n, k$ を考える。赤玉 $k$ 個と青玉 $n - k$ 個が入った袋から3個を無作為に取り出すとき，赤玉2個，青玉1個となる確率を $p (n, k)$ とする。

(1) $p (n, k)$ を求めよ。

(2) $n$ は6以上の3の倍数とする。 $n$ を固定し， $3 ≦ k < n$ の範囲で $k$ を動かすとき， $p (n, k)$ の最大値と，そのときの $k$ を求めよ。

出典：東北大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

解法1

(1)は全体 $_{n} C_{3}$ 通りのうち，赤を2個，青を1個選ぶ場合を組合せで数える。(2)は $n$ を固定すると分母が一定なので， $_{k} C_{2} (n - k)$ ，すなわち $k (k - 1) (n - k)$ を最大化すればよい。連続変数の微分ではなく， $F (k + 1) - F (k)$ の符号で整数 $k$ の増減を調べ， $n = 3 m$ のとき最大が $k = 2 m$ であることを示す。最後の最大値は組合せ式へ代入して整理する。

解法2

確率の分子を $F (k) = k (k - 1) (n - k)$ とし，隣接する2項の比を1と比較する。差分展開を避け，増加から減少へ切り替わる整数を比の不等式で特定する。

解答

解法1

(1)

全体から3個を取り出す方法は $_{n} C_{3}$ 通りである。赤玉2個，青玉1個となる取り出し方は，赤玉 $k$ 個から2個，青玉 $n - k$ 個から1個を選ぶので $_{k} C_{2} (n - k)$ 通りである。したがって $p (n, k) = \frac{_{k} C _{2} ( n - k )}{_{n} C _{3}}$ である。

(2)

$n$ を固定すると，分母 $_{n} C_{3}$ は一定である。よって $F (k) = k (k - 1) (n - k)$ を最大にすればよい。

差を計算すると $F (k + 1) - F (k) = k {(k + 1) (n - k - 1) - (k - 1) (n - k)} = k (2 n - 1 - 3 k)$ である。ここで $n = 3 m$ とおくと $F (k + 1) - F (k) = k (6 m - 1 - 3 k)$ である。したがって $k ≦ 2 m - 1$ では増加し， $k ≧ 2 m$ では減少する。条件 $3 ≦ k < n$ の範囲で最大となるのは $k = 2 m = \frac{2 n}{3}$ のときである。

このとき最大値は $p (n, 2 n /3) = \frac{_{2 m} C _{2} m}{_{3 m} C _{3}}$ である。これを整理すると

\frac{_{2 m} C _{2} m}{_{3 m} C _{3}} = \frac{2 m ( 2 m - 1 )}{( 3 m - 1 ) ( 3 m - 2 )} = \frac{2 n ( 2 n - 3 )}{9 ( n - 1 ) ( n - 2 )}

である。

解法2

(1)

全事象は $_{n} C_{3}$ 通り，有利な取り出し方は $_{k} C_{2} (n - k)$ 通りなので

p (n, k) = \frac{_{k} C _{2} ( n - k )}{_{n} C _{3}} .

(2)

$n = 3 m$ とする。分母は一定なので

F (k) = k (k - 1) (3 m - k)

を最大化すればよい。 $3 ≦ k < 3 m - 1$ で

\frac{F ( k + 1 )}{F ( k )} = \frac{( k + 1 ) ( 3 m - k - 1 )}{( k - 1 ) ( 3 m - k )} .

この比が1以上である条件は

(k + 1) (3 m - k - 1) ≧ (k - 1) (3 m - k) ⟺ k ≦ 2 m - 1

である。したがって $F (k)$ は $k = 2 m$ まで増加し，その後減少する。最大となるのは

k = 2 m = \frac{2 n}{3}

である。最大値は

\frac{_{2 m} C _{2} m}{_{3 m} C _{3}} = \frac{2 m ( 2 m - 1 )}{( 3 m - 1 ) ( 3 m - 2 )} = \frac{2 n ( 2 n - 3 )}{9 ( n - 1 ) ( n - 2 )} .

東北大学 2017年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2017年度
後期・文系数学後期第3問