東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
全体から3個を取り出す方法は ${}_n{\mathrm{C}}_3$ 通りである。赤玉2個，青玉1個となる取り出し方は，赤玉$k$個から2個，青玉$n-k$個から1個を選ぶので ${}_k{\mathrm{C}}_2(n-k)$ 通りである。したがって $$p(n,k)=\frac{{}_k{\mathrm{C}}_2(n-k)}{{}_n{\mathrm{C}}_3}$$ である。

(2) $n$を固定すると，分母${}_n{\mathrm{C}}_3$は一定である。よって $F(k)=k(k-1)(n-k)$ を最大にすればよい。

差を計算すると $$F(k+1)-F(k)=k\{(k+1)(n-k-1)-(k-1)(n-k)\}=k(2n-1-3k)$$ である。ここで$n=3m$とおくと $F(k+1)-F(k)=k(6m-1-3k)$ である。したがって$k\leqq 2m-1$では増加し，$k\geqq 2m$では減少する。条件$3\leqq k<n$の範囲で最大となるのは $$k=2m=\frac{2n}{3}$$ のときである。

このとき最大値は $$p(n,2n\mathrm{/}3)=\frac{{}_{2m}{\mathrm{C}}_{2}m}{{}_{3m}{\mathrm{C}}_3}$$ である。これを整理すると$$\frac{{}_{2m}{\mathrm{C}}_{2}m}{{}_{3m}{\mathrm{C}}_3}=\frac{2m(2m-1)}{(3m-1)(3m-2)}=\frac{2n(2n-3)}{9(n-1)(n-2)}$$である。

確率の分子を$F(k)=k(k-1)(n-k)$とし，隣接する2項の比を1と比較する。差分展開を避け，増加から減少へ切り替わる整数を比の不等式で特定する。

(1) 全事象は${}_n{\mathrm{C}}_3$通り，有利な取り出し方は${}_k{\mathrm{C}}_2(n-k)$通りなので$$p(n,k)=\frac{{}_k{\mathrm{C}}_2(n-k)}{{}_n{\mathrm{C}}_3}\mathrm{.}$$(2) $n=3m$とする。分母は一定なので$$F(k)=k(k-1)(3m-k)$$を最大化すればよい。$3\leqq k<3m-1$で$$\frac{F(k+1)}{F(k)}=\frac{(k+1)(3m-k-1)}{(k-1)(3m-k)}\mathrm{.}$$この比が1以上である条件は$$(k+1)(3m-k-1)\geqq (k-1)(3m-k)⟺k\leqq 2m-1$$である。したがって$F(k)$は$k=2m$まで増加し，その後減少する。最大となるのは$$k=2m=\frac{2n}{3}$$である。最大値は$$\frac{{}_{2m}{\mathrm{C}}_{2}m}{{}_{3m}{\mathrm{C}}_3}=\frac{2m(2m-1)}{(3m-1)(3m-2)}=\frac{2n(2n-3)}{9(n-1)(n-2)}\mathrm{.}$$