東北大学 2020年度文理共通数学前期文系第2問・理系第3問解答・解説

問題

$n$ を正の整数， $a, b$ を0以上の整数とする。

(1) $n ≧ 3$ のとき不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}$ が成り立つことを示せ。

(2) 不等式 $2^{n} + n^{2} + 8 ≧ 3^{n}$ を満たす $n$ をすべて求めよ。

(3) 等式 $2^{n} + n^{2} + 8 = 3^{n} + an + b$ を満たす $a, b, n$ の組 $(a, b, n)$ をすべて求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系第2問・理系第3問

方針

解法1（数学的帰納法で不等式を示す方法）

(1) は $n = 3$ を確認し、仮定した不等式の右辺を3倍して $n + 1$ の差を正にする。(2) は(1)で $n ≧ 3$ を除外する。(3) は左辺 $an + b ≧ 0$ を使って $n = 1, 2$ のみを調べる。

解法2（差数列の増加を示す方法）

差 $d_{n} = 3^{n} - 2^{n} - n^{2} - 8$ を置く。さらに $d_{n + 1} - d_{n}$ の正値性を補助数列で確認し、 $d_{3} > 0$ から $n ≧ 3$ を一括して処理する。残りの小問は $n = 1, 2$ の有限確認に帰着する。

解答

解法1（数学的帰納法で不等式を示す方法）

(1)

$n = 3$ のとき

2^{3} + 3^{2} + 8 = 25 < 27 = 3^{3}

である。ある $n ≧ 3$ で

2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}

が成り立つと仮定する。このとき

3^{n + 1} - {2^{n + 1} + (n + 1)^{2} + 8} > 3 (2^{n} + n^{2} + 8) - 2^{n + 1} - (n + 1)^{2} - 8 = 2^{n} + 2 n^{2} - 2 n + 15 > 0.

よって $n + 1$ でも不等式が成り立つ。数学的帰納法により、すべての $n ≧ 3$ で

2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}

である。

(2)

$n = 1, 2$ ではそれぞれ

11 ≧ 3, 16 ≧ 9

である。(1) より $n ≧ 3$ は不適なので、

n = 1, 2

である。

(3)

与式を

an + b = 2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n}

と書く。 $a, b$ は0以上の整数なので左辺は非負である。したがって(2)より $n = 1, 2$ だけを調べればよい。

$n = 1$ のとき $a + b = 8$ だから

(a, b, n) = (j, 8 - j, 1) (j = 0, 1, \dots, 8) .

$n = 2$ のとき $2 a + b = 7$ だから

(a, b, n) = (0, 7, 2), (1, 5, 2), (2, 3, 2), (3, 1, 2) .

以上がすべてである。

解法2（差数列の増加を示す方法）

(1)

d_{n} = 3^{n} - 2^{n} - n^{2} - 8

とおく。 $d_{3} = 2 > 0$ である。また

d_{n + 1} - d_{n} = 2 \cdot 3^{n} - 2^{n} - 2 n - 1

である。右辺を $E_{n}$ とおくと

E_{3} = 39 > 0, E_{n + 1} - E_{n} = 4 \cdot 3^{n} - 2^{n} - 2 > 0

である。最後の不等式は $n ≧ 3$ で明らかであるから、 $E_{n} > 0$ 、したがって $d_{n}$ は $n ≧ 3$ で増加する。よって

d_{n} ≧ d_{3} > 0,

すなわち

2^{n} + n^{2} + 8 < 3^{n}

である。

(2)

直接計算すると $n = 1, 2$ は条件を満たし、(1) より $n ≧ 3$ は満たさない。よって

n = 1, 2.

(3)

$an + b ≧ 0$ なので

2^{n} + n^{2} + 8 - 3^{n} ≧ 0

が必要である。(2) より $n = 1, 2$ だけである。したがって

n = 1 n = 2 : a + b = 8, : 2 a + b = 7.

非負整数解を列挙して

(a, b, n) = (j, 8 - j, 1) (j = 0, \dots, 8),

(a, b, n) = (0, 7, 2), (1, 5, 2), (2, 3, 2), (3, 1, 2)

を得る。

東北大学 2020年度文理共通数学 前期 文系第2問・理系第3問

問題

方針

解法1（数学的帰納法で不等式を示す方法）

解法2（差数列の増加を示す方法）

解答

解法1（数学的帰納法で不等式を示す方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（差数列の増加を示す方法）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2020年度
文理共通数学前期文系第2問・理系第3問