東北大学 2020年度文理共通数学前期文系第3問・理系第2問解答・解説

問題

$a$ を0でない実数とする。 $x y$ 平面において，円 $C : x^{2} - 2 a x + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ ，直線 $L : - 4 x + 3 y + a = 0$ ，直線 $M : 3 x + 4 y - 7 a = 0$ を考える。

(1) $L$ と $M$ の交点が $C$ 上にあるような $a$ の値を求めよ。

(2) $C$ と $L$ が異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 集合 ${P ∣ 点 P は C と L の共有点} \cup {P ∣ 点 P は C と M の共有点}$ の要素の個数が3となるような $a$ の値をすべて求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験文理共通前期文系第3問・理系第2問

方針

解法1（中心から直線までの距離を使う方法）

円を平方完成して中心と半径を求める。(1) は2直線の交点を円へ代入する。(2)(3) は中心から各直線までの距離と半径を比較し、割線・接線・共有点の重複を分類する。

解法2（代入後の判別式を使う方法）

直線 $L, M$ をそれぞれ円の式へ代入し、得られる $x$ の二次方程式の判別式で交点数を判定する。(3) では判別式0の値と、2直線の共通点が円上にある値を組み合わせる。

解答

解法1（中心から直線までの距離を使う方法）

円 $C$ を平方完成すると

(x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = a^{2}

である。中心は $(a, 2)$ 、半径は $∣ a ∣$ である。

(1)

$L, M$ を連立すると交点は $(a, a)$ である。これが $C$ 上にある条件は

(a - 2)^{2} = a^{2}

だから

a = 1.

(2)

中心から $L$ までの距離は

d_{L} = \frac{∣ - 4 a + 3 \cdot 2 + a ∣}{5} = \frac{3∣2 - a ∣}{5} .

異なる2共有点をもつ条件は $d_{L} < ∣ a ∣$ である。2乗して整理すると

9 (a - 2)^{2} < 25 a^{2} ⟺ (4 a - 3) (a + 3) > 0.

よって

a < - 3 または a > \frac{3}{4} .

(3)

中心から $M$ までの距離は

d_{M} = \frac{∣3 a + 4 \cdot 2 - 7 a ∣}{5} = \frac{4∣2 - a ∣}{5} .

したがって $M$ が割線となる条件は

16 (a - 2)^{2} < 25 a^{2} ⟺ (a + 8) (9 a - 8) > 0,

すなわち $a < - 8$ または $a > 8/9$ である。接線となるのは

a = - 8, a = \frac{8}{9} .

一方 $L$ が接線となるのは

a = - 3, a = \frac{3}{4} .

集合の要素数が3になるのは次の2種類である。

状況 L, M がともに割線で、 1 交点を共有 M が接線、 L が割線 a 1 - 8, \frac{8}{9}

第1行は(1)による。 $L$ が接線となる $a = - 3, 3/4$ では $M$ は割線でない。よって

a = - 8, a = \frac{8}{9}, a = 1.

解法2（代入後の判別式を使う方法）

(1)

$L, M$ の交点は $(a, a)$ である。円の式へ代入すると

(a - a)^{2} + (a - 2)^{2} = a^{2}

より $a = 1$ である。

(2)

$L$ は $y = (4 x - a) /3$ である。円の式へ代入し、9倍して整理すると

25 x^{2} - (26 a + 48) x + (a + 6)^{2} = 0.

判別式は

D_{L} = (26 a + 48)^{2} - 100 (a + 6)^{2} = 144 (4 a - 3) (a + 3) .

異なる2共有点をもつ条件 $D_{L} > 0$ から

a < - 3 または a > \frac{3}{4} .

(3)

同様に $M$ を代入すると

25 x^{2} + (- 74 a + 48) x + (7 a - 8)^{2} = 0

であり、

D_{M} = 64 (a + 8) (9 a - 8) .

よって $M$ の接線条件は $a = - 8, 8/9$ 、割線条件は $a < - 8$ または $a > 8/9$ である。

$D_{M} = 0$ の2値では $D_{L} > 0$ なので、 $M$ の1点と $L$ の2点は合計3点になる。また $D_{L} > 0, D_{M} > 0$ のもとで2組の交点が1点だけ重なるには、 $L \cap M$ が円上にあればよい。(1) より $a = 1$ である。逆に $D_{L} = 0$ の2値では $D_{M} ≦ 0$ なので3点にならない。したがって

a = - 8, a = \frac{8}{9}, a = 1.

東北大学 2020年度文理共通数学 前期 文系第3問・理系第2問

問題

方針

解法1（中心から直線までの距離を使う方法）

解法2（代入後の判別式を使う方法）

解答

解法1（中心から直線までの距離を使う方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（代入後の判別式を使う方法）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2020年度
文理共通数学前期文系第3問・理系第2問