東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

$-2\leqq x\leqq a$ では$$x-a\leqq 0,x+2\geqq 0$$なので $(x-a)(x+2)\leqq 0$ である。また $a\leqq x\leqq 3$ では$$x-a\geqq 0,x-3\leqq 0$$なので $2(x-a)(x-3)\leqq 0$ である。したがって面積は$$S(a)=-{\int }_{-2}^a(x-a)(x+2)dx-{\int }_a^{3}2(x-a)(x-3)dx\mathrm{.}$$第1積分で $u=x+2$、第2積分で $v=3-x$ とおくと、$$-{\int }_{-2}^a(x-a)(x+2)dx=\frac{(a+2{)}^3}{6},$$$$-{\int }_a^{3}2(x-a)(x-3)dx=\frac{(3-a{)}^3}{3}\mathrm{.}$$よって$$S(a)=\frac{(a+2{)}^3}{6}+\frac{(3-a{)}^3}{3}\mathrm{.}$$(2)$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{(a+2{)}^2}{2}-(3-a{)}^2\mathrm{.}$$$-2\leqq a\leqq 3$ では $a+2\geqq 0,3-a\geqq 0$ なので、$S^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ は$$a+2=\sqrt{2}(3-a)$$と同値である。したがって唯一の内部の停留点は$$a=8-5\sqrt{2}\mathrm{.}$$導関数はこの点の前で負、後で正なので、ここで最小となる。値は$$S(8-5\sqrt{2})=\frac{125}{3}(3-2\sqrt{2})\mathrm{.}$$最大値は端点で比較する。$$S(-2)=\frac{125}{3},S(3)=\frac{125}{6}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{cc}\text{条件}& \text{値}\\ a=-2& {\displaystyle \max S(a)=\frac{125}{3}}\\ a=8-5\sqrt{2}& {\displaystyle \min S(a)=\frac{125}{3}(3-2\sqrt{2})}\end{array}$$

左の区間長を $u=a+2$、右の区間長を $v=3-a$ とおくと $u,v\geqq 0,u+v=5$ である。面積を区間長の三乗で表し、1変数の凸関数として最小値と端点での最大値を調べる。

(1)

一般に、零点間の長さが $L$ である二次式 $t(L-t)$ の面積は$${\int }_0^{L}t(L-t)dt=\frac{L^3}{6}$$である。左側の幅は $u=a+2$、右側の幅は $v=3-a$ であり、右側には係数2がある。したがって$$S(a)=\frac{u^3}{6}+\frac{v^3}{3}=\frac{(a+2{)}^3}{6}+\frac{(3-a{)}^3}{3}\mathrm{.}$$(2)

$u+v=5$ なので $v=5-u$、$0\leqq u\leqq 5$ とする。$$\mathrm{\Phi }(u)=\frac{u^3}{6}+\frac{(5-u{)}^3}{3}\mathrm{.}$$微分すると$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{u^2}{2}-(5-u{)}^2,{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(u)=u+2(5-u)=10-u>0.$$よって $\mathrm{\Phi }$ は区間全体で下に凸であり、唯一の停留点で最小となる。$$\frac{u^2}{2}=(5-u{)}^2,u\geqq 0,5-u\geqq 0$$より $u=\sqrt{2}(5-u)$、したがって$$u=5(2-\sqrt{2}),a=u-2=8-5\sqrt{2}\mathrm{.}$$このとき$$\min S(a)=\frac{125}{3}(3-2\sqrt{2})\mathrm{.}$$凸関数の区間上の最大値は端点で生じる。$u=0$ では $a=-2$ で $S=125\mathrm{/}3$、$u=5$ では $a=3$ で $S=125\mathrm{/}6$ だから、$$\max S(a)=\frac{125}{3}(a=-2)$$である。