東北大学 2020年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$a$ を $- 2 ≦ a ≦ 3$ を満たす実数とする。次の性質をもつ関数 $f (x)$ を考える。

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 (x - a) (x + 2) 2 (x - a) (x - 3) 0 (x < - 2 のとき) (- 2 ≦ x ≦ a のとき) (a ≦ x ≦ 3 のとき) (x > 3 のとき)

曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を $S (a)$ とおく。

(1) $S (a)$ を求めよ。

(2) $S (a)$ が最大となる $a$ の値を求めよ。また， $S (a)$ が最小となる $a$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

解法1（区間ごとの面積を積分する方法）

各区間で $f (x) ≦ 0$ であることを先に確認し、面積を2つの定積分の和として表す。区間長を生かす置換で積分し、得られた $S (a)$ を微分して内部の極値と両端を比較する。

解法2（2つの区間長を変数にする方法）

左の区間長を $u = a + 2$ 、右の区間長を $v = 3 - a$ とおくと $u, v ≧ 0, u + v = 5$ である。面積を区間長の三乗で表し、1変数の凸関数として最小値と端点での最大値を調べる。

解答

解法1（区間ごとの面積を積分する方法）

(1)

$- 2 ≦ x ≦ a$ では

x - a ≦ 0, x + 2 ≧ 0

なので $(x - a) (x + 2) ≦ 0$ である。また $a ≦ x ≦ 3$ では

x - a ≧ 0, x - 3 ≦ 0

なので $2 (x - a) (x - 3) ≦ 0$ である。したがって面積は

S (a) = - \int_{- 2}^{a} (x - a) (x + 2) d x - \int_{a}^{3} 2 (x - a) (x - 3) d x .

第1積分で $u = x + 2$ 、第2積分で $v = 3 - x$ とおくと、

- \int_{- 2}^{a} (x - a) (x + 2) d x = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6},

- \int_{a}^{3} 2 (x - a) (x - 3) d x = \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3} .

よって

S (a) = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3} .

(2)

S^{'} (a) = \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2} - (3 - a)^{2} .

$- 2 ≦ a ≦ 3$ では $a + 2 ≧ 0, 3 - a ≧ 0$ なので、 $S^{'} (a) = 0$ は

a + 2 = 2 (3 - a)

と同値である。したがって唯一の内部の停留点は

a = 8 - 52 .

導関数はこの点の前で負、後で正なので、ここで最小となる。値は

S (8 - 52) = \frac{125}{3} (3 - 22) .

最大値は端点で比較する。

S (- 2) = \frac{125}{3}, S (3) = \frac{125}{6} .

よって

条件 a = - 2 a = 8 - 52 値 max S (a) = \frac{125}{3} min S (a) = \frac{125}{3} (3 - 22)

解法2（2つの区間長を変数にする方法）

(1)

一般に、零点間の長さが $L$ である二次式 $t (L - t)$ の面積は

\int_{0}^{L} t (L - t) d t = \frac{L ^{3}}{6}

である。左側の幅は $u = a + 2$ 、右側の幅は $v = 3 - a$ であり、右側には係数2がある。したがって

S (a) = \frac{u ^{3}}{6} + \frac{v ^{3}}{3} = \frac{( a + 2 ) ^{3}}{6} + \frac{( 3 - a ) ^{3}}{3} .

(2)

$u + v = 5$ なので $v = 5 - u$ 、 $0 ≦ u ≦ 5$ とする。

Φ (u) = \frac{u ^{3}}{6} + \frac{( 5 - u ) ^{3}}{3} .

微分すると

Φ^{'} (u) = \frac{u ^{2}}{2} - (5 - u)^{2}, Φ^{''} (u) = u + 2 (5 - u) = 10 - u > 0.

よって $Φ$ は区間全体で下に凸であり、唯一の停留点で最小となる。

\frac{u ^{2}}{2} = (5 - u)^{2}, u ≧ 0, 5 - u ≧ 0

より $u = 2 (5 - u)$ 、したがって

u = 5 (2 - 2), a = u - 2 = 8 - 52 .

このとき

min S (a) = \frac{125}{3} (3 - 22) .

凸関数の区間上の最大値は端点で生じる。 $u = 0$ では $a = - 2$ で $S = 125/3$ 、 $u = 5$ では $a = 3$ で $S = 125/6$ だから、

max S (a) = \frac{125}{3} (a = - 2)

である。

東北大学 2020年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1（区間ごとの面積を積分する方法）

解法2（2つの区間長を変数にする方法）

解答

解法1（区間ごとの面積を積分する方法）

(1)

(2)

解法2（2つの区間長を変数にする方法）

(1)

(2)

東北大学 2020年度
文系数学前期第1問