東北大学 2020年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

6枚の硬貨を同時に投げて，表がでた硬貨が $s$ 枚，裏がでた硬貨が $t$ 枚であったとき，ベクトル $p = (x, y)$ を $p = s (2, - 1) + t (- 1, 2)$ で定める。

(1) $x + y$ の値を求めよ。

(2) $p = (0, 6)$ となる確率を求めよ。

(3) $p$ と $q = (3, 1)$ のなす角が $\frac{π}{6}$ 以下となる確率を求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

解法1（内積の不等式を使う方法）

$s + t = 6$ を使って $p$ を $s$ のみで表す。(3) は内積が正であることを確認してから余弦の不等式を2乗し、整数 $s = 0, \dots, 6$ を判定する。

解法2（7個のベクトルを直接比較する方法）

表の枚数 $s$ は0から6までの7通りしかない。各 $s$ に対する $p$ を表にし、 $cos θ$ を直接比較する。該当する $s$ の二項確率を合計する。

解答

解法1（内積の不等式を使う方法）

$s + t = 6$ だから

p = s (2, - 1) + (6 - s) (- 1, 2) = (3 s - 6, 12 - 3 s) .

(1)

x + y = (3 s - 6) + (12 - 3 s) = 6.

(2)

$p = (0, 6)$ となるのは $3 s - 6 = 0$ 、すなわち $s = 2$ のときである。よって

Pr (p = (0, 6)) = \frac{_{6} C _{2}}{2 ^{6}} = \frac{15}{64} .

(3)

$q = (3, 1)$ とし、なす角を $θ$ とする。

p \cdot q = 6 (s - 1),

∣ p ∣^{2} = 18 (s^{2} - 6 s + 10), ∣ q ∣^{2} = 10.

$θ ≦ π /6$ なら内積は正なので $s ≧ 2$ であり、

\frac{p \cdot q}{∣ p ∣∣ q ∣} ≧ \frac{3}{2} .

両辺を2乗して整理すると

4 (s - 1)^{2} ≧ 15 (s^{2} - 6 s + 10) .

$s = 0, 1, \dots, 6$ のうちこれを満たすのは $s = 3, 4$ である。したがって

Pr (θ ≦ \frac{π}{6}) = \frac{_{6} C _{3} + _{6} C _{4}}{2 ^{6}} = \frac{35}{64} .

解法2（7個のベクトルを直接比較する方法）

(1)

p = (3 s - 6, 12 - 3 s)

なので、どの $s$ でも $x + y = 6$ である。

(2)

第1成分が0となるのは $s = 2$ で、そのとき第2成分は6である。よって

\frac{_{6} C _{2}}{2 ^{6}} = \frac{15}{64} .

(3)

各 $s$ について $p$ と $q = (3, 1)$ の内積を調べる。 $s = 0, 1$ では内積が正でないので不適である。 $s = 2, \dots, 6$ では次の通りである。

s 23456 p (0, 6) (3, 3) (6, 0) (9, - 3) (12, - 6) cos θ \frac{1}{10} \frac{2}{5} \frac{3}{10} \frac{4}{5} \frac{1}{2}

$cos θ ≧ 3 /2$ となるのは $s = 3, 4$ だけである。したがって

\frac{_{6} C _{3} + _{6} C _{4}}{2 ^{6}} = \frac{35}{64} .

東北大学 2020年度文系数学 前期 第4問

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