東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$s+t=6$ だから$$\overrightarrow{p}=s(2,-1)+(6-s)(-1,2)=(3s-6,12-3s)\mathrm{.}$$(1)$$x+y=(3s-6)+(12-3s)=6.$$(2)

$\overrightarrow{p}=(0,6)$ となるのは $3s-6=0$、すなわち $s=2$ のときである。よって$$\mathrm{Pr}(\overrightarrow{p}=(0,6))=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_2}{2^6}=\frac{15}{64}\mathrm{.}$$(3)

$\overrightarrow{q}=(3,1)$ とし、なす角を $\theta$ とする。$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=6(s-1),$$$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{p}{\mathrm{\mid }}^2=18(s^2-6s+10),\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}{\mathrm{\mid }}^2=10.$$$\theta \leqq \pi \mathrm{/}6$ なら内積は正なので $s\geqq 2$ であり、$$\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{p}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{q}\mathrm{\mid }}\geqq \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$両辺を2乗して整理すると$$4(s-1{)}^2\geqq 15(s^2-6s+10)\mathrm{.}$$$s=0,1,\dots ,6$ のうちこれを満たすのは $s=3,4$ である。したがって$$\mathrm{Pr}(\theta \leqq \frac{\pi }{6})=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3+{}_6{\mathrm{C}}_4}{2^6}=\frac{35}{64}\mathrm{.}$$

表の枚数 $s$ は0から6までの7通りしかない。各 $s$ に対する $\overrightarrow{p}$ を表にし、$\cos \theta$ を直接比較する。該当する $s$ の二項確率を合計する。

(1) $$\overrightarrow{p}=(3s-6,12-3s)$$なので、どの $s$ でも $x+y=6$ である。

(2)

第1成分が0となるのは $s=2$ で、そのとき第2成分は6である。よって$$\frac{{}_6{\mathrm{C}}_2}{2^6}=\frac{15}{64}\mathrm{.}$$(3)

各 $s$ について $\overrightarrow{p}$ と $\overrightarrow{q}=(3,1)$ の内積を調べる。$s=0,1$ では内積が正でないので不適である。$s=2,\dots ,6$ では次の通りである。$$\begin{array}{ccc}s& \overrightarrow{p}& \cos \theta \\ 2& (0,6)& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\\ 3& (3,3)& {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\\ 4& (6,0)& {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}\\ 5& (9,-3)& {\displaystyle \frac{4}{5}}\\ 6& (12,-6)& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}$$$\cos \theta \geqq \sqrt{3}\mathrm{/}2$ となるのは $s=3,4$ だけである。したがって$$\frac{{}_6{\mathrm{C}}_3+{}_6{\mathrm{C}}_4}{2^6}=\frac{35}{64}\mathrm{.}$$