東北大学 2020年度後期・文理共通数学後期文系第3問・理系第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 4 x$ を考える。直線 $y = g (x)$ は曲線 $y = f (x)$ と異なる2点 $P, Q$ で接し，2次関数 $h (x)$ が定める放物線 $y = h (x)$ は $P, Q$ および原点 $O$ を通るとする。

(1) 関数 $g (x)$ ， $h (x)$ を求めよ。

(2) 曲線 $y = f (x)$ と放物線 $y = h (x)$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第3問・理系第1問

方針

解法1（接点を重解として係数比較する方法）

共通接線を $g (x) = m x + c$ 、2つの接点の $x$ 座標を $r, s$ とする。 $f (x) - g (x)$ が $r, s$ をそれぞれ重解にもつことから完全な4次式として係数比較する。放物線 $h$ は3点条件で決め、面積は $h - f = x^{2} (1 - x^{2})$ を表示積分する。

解法2（接線の傾きと切片を比較する方法）

接点 $x = u$ における接線の傾き $f^{'} (u)$ と切片 $f (u) - u f^{'} (u)$ を関数として表す。異なる2点 $r, s$ で両者が一致する条件を連立し、接点を決定する。

解答

解法1（接点を重解として係数比較する方法）

(1)

共通接線を $g (x) = m x + c$ 、異なる2接点の $x$ 座標を $r, s$ とする。 $f (x) - g (x)$ は $x = r, s$ をそれぞれ重解にもつので、

f (x) - g (x) = (x - r)^{2} (x - s)^{2}

と書ける。一方、

f (x) - g (x) = x^{4} - 2 x^{2} + (4 - m) x - c .

右辺の $x^{3}$ の係数を比較すると $r + s = 0$ である。したがって右辺の $x$ の係数も0となり、 $4 - m = 0$ 、すなわち $m = 4$ である。

$s = - r$ を用いると

(x - r)^{2} (x + r)^{2} = x^{4} - 2 r^{2} x^{2} + r^{4} .

係数比較から $r^{2} = 1$ 、 $- c = 1$ を得る。よって

g (x) = 4 x - 1.

接点は

P = (1, 3), Q = (- 1, - 5)

である。

$h (x) = u x^{2} + v x$ とおく。 $P, Q$ を通る条件は

u + v = 3, u - v = - 5

だから $u = - 1, v = 4$ であり、

h (x) = - x^{2} + 4 x

である。

(2)

h (x) - f (x) = x^{2} - x^{4} = x^{2} (1 - x^{2}) .

交点の $x$ 座標は $- 1, 0, 1$ で、 $- 1 ≦ x ≦ 1$ では $h (x) ≧ f (x)$ である。したがって求める面積は

\int_{- 1}^{1} {h (x) - f (x)} d x = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x = 2 \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x = 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{4}{15} .

解法2（接線の傾きと切片を比較する方法）

(1)

$x = u$ における接線の傾きと切片は

f^{'} (u) = 4 u^{3} - 4 u + 4, f (u) - u f^{'} (u) = - 3 u^{4} + 2 u^{2}

である。異なる $r, s$ で同じ接線になるには

f^{'} (r) = f^{'} (s), f (r) - r f^{'} (r) = f (s) - s f^{'} (s)

が必要十分である。

$r \neq = s$ を用いて第1式を整理すると

r^{2} + r s + s^{2} = 1.

第2式は

(r^{2} - s^{2}) {2 - 3 (r^{2} + s^{2})} = 0

となる。もし $r^{2} + s^{2} = 2/3$ なら、前式から $r s = 1/3$ であり、

(r - s)^{2} = r^{2} + s^{2} - 2 r s = 0

となって $r \neq = s$ に反する。よって $r^{2} = s^{2}$ 、したがって $r + s = 0$ である。これを $r^{2} + r s + s^{2} = 1$ に代入して $r^{2} = 1$ を得る。接点は $r, s = 1, - 1$ である。

傾きと切片を代入すると

g (x) = 4 x - 1.

また $O, (1, 3), (- 1, - 5)$ を通る二次関数を求めれば

h (x) = - x^{2} + 4 x

となる。

(2)

2曲線の上下差は

h (x) - f (x) = x^{2} (1 - x^{2})

であるから、

\int_{- 1}^{1} x^{2} (1 - x^{2}) d x = 2 \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x = \frac{4}{15} .

東北大学 2020年度後期・文理共通数学 後期 文系第3問・理系第1問

問題

方針

解法1（接点を重解として係数比較する方法）

解法2（接線の傾きと切片を比較する方法）

解答

解法1（接点を重解として係数比較する方法）

(1)

(2)

解法2（接線の傾きと切片を比較する方法）

(1)

(2)

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後期・文理共通数学後期文系第3問・理系第1問