東北大学 2020年度後期・文理共通数学後期文系第4問・理系第4問解答・解説

問題

数直線上に異なる2点A，Bがある。点MはAからスタートするものとして，以下の規則に従って試行を行う。

● MがAにいるとき，さいころをふって出た目の数が偶数ならAにとどまり，そうでなければBに移る。

● MがBにいるとき，さいころをふって出た目の数が1または2であるならBにとどまり，そうでなければAに移る。

$n$ は1以上の整数とし， $n$ 回目の試行の後でMがAにいる確率を $p_{n}$ とし， $n$ 回目の試行の後でMがBにいる確率を $q_{n}$ とする。

(1) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ ， $q_{n}$ を用いて表せ。また， $q_{n + 1}$ を $p_{n}$ ， $q_{n}$ を用いて表せ。

(2) $p_{n}$ ， $q_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・文理共通後期文系第4問・理系第4問

各状態から $A, B$ へ移る確率を整理する。 $p_{n} + q_{n} = 1$ を使って $p_{n}$ だけの一次漸化式を作り、定常値 $4/7$ を引いて等比数列に直す。

(1) の遷移式から $p_{n} = 1 - q_{n}$ を $q_{n + 1}$ に代入する。定常値 $3/7$ との差を等比数列として求め、最後に $p_{n} = 1 - q_{n}$ とする。

遷移確率は

A \to A : \frac{1}{2}, A \to B : \frac{1}{2}, B \to A : \frac{2}{3}, B \to B : \frac{1}{3}

である。したがって

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{3} q_{n} .

試行前は $A$ にいるので $p_{0} = 1, q_{0} = 0$ とおける。 $q_{n} = 1 - p_{n}$ を用いると

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} (1 - p_{n}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} p_{n} .

定常値 $L$ は

L = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} L

を満たすから $L = 4/7$ である。よって

p_{n + 1} - \frac{4}{7} = - \frac{1}{6} (p_{n} - \frac{4}{7}) .

初期値 $p_{0} = 1$ から

p_{n} - \frac{4}{7} = (- \frac{1}{6})^{n} (1 - \frac{4}{7}) = \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n} .

したがって

p_{n} = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n}, q_{n} = \frac{3}{7} - \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n} .

全確率の公式より

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{3} q_{n} .

今度は $p_{n} = 1 - q_{n}$ を第2式へ代入する。

q_{n + 1} = \frac{1}{2} (1 - q_{n}) + \frac{1}{3} q_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} q_{n} .

固定値は $3/7$ なので、

q_{n + 1} - \frac{3}{7} = - \frac{1}{6} (q_{n} - \frac{3}{7}) .

$q_{0} = 0$ より

q_{n} - \frac{3}{7} = (- \frac{1}{6})^{n} (- \frac{3}{7}) .

したがって

q_{n} = \frac{3}{7} - \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n} .

さらに $p_{n} = 1 - q_{n}$ だから

p_{n} = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n} .

$n = 1$ を代入すると $p_{1} = q_{1} = 1/2$ となり、最初の試行の結果とも一致する。