東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) $$F(x)=-2x^2+x+6=-2{(x-\frac{1}{4})}^2+\frac{49}{8}$$とおく。$F(x)=0$ の解は $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}},2$ であり、頂点は$$(\frac{1}{4},\frac{49}{8})$$である。したがって $y=\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }$ は、区間 $-{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq 2$ では $y=F(x)$、その外側では $y=-F(x)$ となる。

$a>0$ のとき、外側の2本の枝とは常に1点ずつ、合計2点で交わる。さらに$$0<a<\frac{49}{8}$$なら中央の山とも2点で交わるので実数解は4個、$$a={\displaystyle \frac{49}{8}}$$ なら中央では頂点の1点だけなので実数解は3個である。$a\leqq 0$ または $$a>{\displaystyle \frac{49}{8}}$$ では3個以上にならない。よって$$0<a\leqq \frac{49}{8}$$である。

(2)

両辺 $\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }$ と $\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }$ は非負なので、$$\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }$$は2乗して$$F(x{)}^2-9x^2>0$$と同値である。差の平方として因数分解すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x{)}^2-9x^2}& {\displaystyle =\{F(x)-3x\}\{F(x)+3x\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-2x^2-2x+6)(-2x^2+4x+6)\mathrm{.}}\end{array}$$各因子の零点は$$-2x^2-2x+6=0⟺x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2},-2x^2+4x+6=0⟺x=-1,3$$である。大小関係は$$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}<-1<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}<3$$となる。2つの二次式はいずれも最高次係数が負であるから、符号表より積が正になる範囲は$$x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2},-1<x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x>3$$である。

絶対値を外した2種類の方程式 $F(x)=a$, $F(x)=-a$ の解を数える。(2) は $\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }$ を $F>3\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ または $F<-3\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ に分け、$x\geqq 0$, $x<0$ ごとに二次不等式を解く。

(1)

$a<0$ では解がなく、$a=0$ では $F(x)=0$ の2解だけである。以下 $a>0$ とする。

方程式 $F(x)=-a$ は$$2x^2-x-(6+a)=0$$であり、判別式 $49+8a$ は正なので常に相異なる2実根をもつ。一方 $F(x)=a$ は$$2x^2-x+(a-6)=0$$であり、判別式は $49-8a$ である。よって $0<a<49\mathrm{/}8$ では2解、$a=49\mathrm{/}8$ では1解、$a>49\mathrm{/}8$ では解をもたない。両方の方程式が共通解をもつなら $a=0$ となるため、$a>0$ では解は重複しない。したがって3個以上の実数解をもつ条件は$$0<a\leqq \frac{49}{8}$$である。

(2)

$F(x)>\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }$ と $F(x)<-\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }$ を、$x$ の符号で分ける。

$x\geqq 0$ では $\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }=3x$ だから、$$F(x)>3x⟺-2x^2-2x+6>0$$または$$F(x)<-3x⟺-2x^2+4x+6<0.$$これらを解き $x\geqq 0$ と共通部分を取ると$$0\leqq x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\text{または}x>3$$である。

$x<0$ では $\mathrm{\mid }3x\mathrm{\mid }=-3x$ だから、$$F(x)>-3x⟺-2x^2+4x+6>0$$または$$F(x)<3x⟺-2x^2-2x+6<0.$$$x<0$ と共通部分を取ると$$-1<x<0\text{または}x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$$である。以上を合わせて$$x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2},-1<x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x>3$$を得る。