問題
3直線
を考える。直線との交点を、直線との交点を、直線との交点をとする。
点は線分上を、端点を除いて動く。点と直線との距離を、点と直線との距離をとする。
(1) 点の座標を求めよ。
(2) のとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ。
(3) 積の最大値を求めよ。
出典：東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
解法1（線分を媒介変数で表す方法）
まず3組の連立方程式を解く。次に から へ進む割合を として とおき、点と直線の距離公式から を一次式で表す。積は の最大値に帰着する。
解法2（距離の線形変化を使う方法）
線分上を動く点から固定直線までの符号付き距離は、位置の割合に対して一次的に変化する。端点 での距離だけを計算し、 に対して内分比で補間する。
解答
解法1（線分を媒介変数で表す方法）
(1)
と では だから、
より である。 と では だから、
より である。 と を連立すると
なので である。
(2)
として
とおく。点と直線の距離公式より
であるから、
(3)
したがって 、すなわち が の中点のとき最大となり、
である。
解法2（距離の線形変化を使う方法）
(1)
連立方程式を解くと
である。
(2)
は直線 上、 は直線 上にある。また
線分 の内部では、 の各式の符号は変わらない。 とすると、直線の左辺は座標の一次式なので距離も同じ割合で変化する。したがって
よって
(3)
相加平均と相乗平均の関係、または
より、
等号は のときに成り立つ。したがって最大値は
である。