東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)

$l$ と $m$ では $x=4y$ だから、$$16y+3y=19$$より $A=(4,1)$ である。$m$ と $n$ では $y=6x\mathrm{/}5$ だから、$$4x+\frac{18}{5}x=19$$より $$B=({\displaystyle \frac{5}{2}},3)$$ である。$n$ と $l$ を連立すると$$6x-5\cdot \frac{x}{4}=\frac{19}{4}x=0$$なので $C=(0,0)$ である。$$A=(4,1),B=(\frac{5}{2},3),C=(0,0)\mathrm{.}$$(2)

$0<t<1$ として$$P=(1-t)C+tB=(\frac{5t}{2},3t)$$とおく。点と直線の距離公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_1}& {\displaystyle =\frac{\mid 4\cdot \frac{5t}{2}+3\cdot 3t-19\mid }{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{19(1-t)}{5},}\\ {\displaystyle d_2}& {\displaystyle =\frac{\mid \frac{5t}{2}-4\cdot 3t\mid }{\sqrt{1^2+(-4{)}^2}}=\frac{19t}{2\sqrt{17}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<t<1$ であるから、$$0<d_1<\frac{19}{5},0<d_2<\frac{19}{2\sqrt{17}}\mathrm{.}$$(3)$$d_1{d}_2=\frac{361}{10\sqrt{17}}t(1-t)=\frac{361}{10\sqrt{17}}\{\frac{1}{4}-{(t-\frac{1}{2})}^2\}\mathrm{.}$$したがって $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$、すなわち $P$ が $BC$ の中点のとき最大となり、$$\max d_1{d}_2=\frac{361}{40\sqrt{17}}$$である。

線分上を動く点から固定直線までの符号付き距離は、位置の割合に対して一次的に変化する。端点 $B,C$ での距離だけを計算し、$P=(1-t)C+tB$ に対して内分比で補間する。

(1)

連立方程式を解くと$$A=(4,1),B=(\frac{5}{2},3),C=(0,0)$$である。

(2)

$B$ は直線 $m$ 上、$C$ は直線 $l$ 上にある。また$$\mathrm{dist}(C,m)=\frac{19}{5},\mathrm{dist}(B,l)=\frac{\mathrm{\mid }5\mathrm{/}2-12\mathrm{\mid }}{\sqrt{17}}=\frac{19}{2\sqrt{17}}\mathrm{.}$$線分 $BC$ の内部では、$m,l$ の各式の符号は変わらない。$P=(1-t)C+tB(0<t<1)$ とすると、直線の左辺は座標の一次式なので距離も同じ割合で変化する。したがって$$d_1=(1-t)\frac{19}{5},d_2=t\frac{19}{2\sqrt{17}}\mathrm{.}$$よって$$0<d_1<\frac{19}{5},0<d_2<\frac{19}{2\sqrt{17}}\mathrm{.}$$(3)

相加平均と相乗平均の関係、または$$t(1-t)\leqq {\left(\frac{t+(1-t)}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$より、$$d_1{d}_2=\frac{361}{10\sqrt{17}}t(1-t)\leqq \frac{361}{40\sqrt{17}}\mathrm{.}$$等号は $t=1\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。したがって最大値は$$\frac{361}{40\sqrt{17}}$$である。