東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $0\leqq t\leqq 1$ とする。$0\leqq x\leqq t$ では $x^2-t^2\leqq 0$、$t\leqq x\leqq 1$ では $x^2-t^2\geqq 0$ である。したがって $$F(t)={\int }_0^t(t^2-x^2)dx+{\int }_t^1(x^2-t^2)dx$$ である。

第1項は $${\int }_0^t(t^2-x^2)dx={[t^{2}x-\frac{x^3}{3}]}_0^t=\frac{2}{3}{t}^3$$ である。第2項は$${\int }_t^1(x^2-t^2)dx={[\frac{x^3}{3}-t^{2}x]}_t^1=\frac{1}{3}-t^2+\frac{2}{3}{t}^3$$である。よって $$F(t)=\frac{1}{3}-t^2+\frac{4}{3}{t}^3$$ となる。

(2)
まず $0\leqq t\leqq 1$ で考える。(1) より $F^{\mathrm{\prime }}(t)=-2t+4t^2=2t(2t-1)$ である。したがって $F(t)$ は $0<t<\frac{1}{2}$ で減少し、$\frac{1}{2}<t<1$ で増加する。よってこの範囲での最小は $t=\frac{1}{2}$ でとられ、その値は $$F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$$ である。

次に $t\geqq 1$ とする。このとき $0\leqq x\leqq 1$ で常に $x^2-t^2\leqq 0$ なので $$F(t)={\int }_0^1(t^2-x^2)dx=t^2-\frac{1}{3}$$ である。これは $t\geqq 1$ で単調増加し、最小値は $t=1$ のとき $F(1)=\frac{2}{3}$ である。 $\frac{1}{4}<\frac{2}{3}$ だから、$t\geqq 0$ 全体で $F(t)$ を最小にする値は $T=\frac{1}{2}$ であり、最小値は $F(T)=\frac{1}{4}$ である。

(1) で得た式を使い、微分せずに最小値との差を因数分解する。$0\leqq t\leqq 1$ では $F(t)-1\mathrm{/}4$ が平方因子をもつことを示し、$t\geqq 1$ では $F(t)=t^2-1\mathrm{/}3$ を直接評価して全範囲を比較する。

(1)
$0\leqq t\leqq 1$ では $x=t$ の前後で符号が変わるから$$F(t)={\int }_0^t(t^2-x^2)dx+{\int }_t^1(x^2-t^2)dx=\frac{1}{3}-t^2+\frac{4}{3}{t}^3\mathrm{.}$$(2)
$0\leqq t\leqq 1$ では、候補値 $1\mathrm{/}4$ との差を取ると$$F(t)-\frac{1}{4}=\frac{16t^3-12t^2+1}{12}=\frac{(2t-1{)}^2(4t+1)}{12}\geqq 0.$$ここで $4t+1>0$ だから、等号は $t=1\mathrm{/}2$ のときに限る。

一方、$t\geqq 1$ では $$x^2-t^2\leqq 0(0\leqq x\leqq 1)$$ なので$$F(t)={\int }_0^1(t^2-x^2)dx=t^2-\frac{1}{3}\geqq \frac{2}{3}>\frac{1}{4}\mathrm{.}$$したがって全範囲 $t\geqq 0$ で$$T=\frac{1}{2},F(T)=\frac{1}{4}$$である。