問題
実数の関数
について考える。
(1) のとき，をの整式として表せ。
(2) のとき，を最小にするの値との値を求めよ。
出典：東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
解法1
では を境に の符号が変わるので、積分区間を と に分ける。 全体で最小を求めるため、 で得た3次式の増減と、 で絶対値が常に になる場合を別々に確認し、最後に値を比較する。
解法2
(1) で得た式を使い、微分せずに最小値との差を因数分解する。 では が平方因子をもつことを示し、 では を直接評価して全範囲を比較する。
解答
解法1
(1)
とする。 では 、 では である。したがって である。
第1項は である。第2項は
である。よって となる。
(2)
まず で考える。(1) より である。したがって は で減少し、 で増加する。よってこの範囲での最小は でとられ、その値は である。
次に とする。このとき で常に なので である。これは で単調増加し、最小値は のとき である。 だから、 全体で を最小にする値は であり、最小値は である。
解法2
(1)
では の前後で符号が変わるから
(2)
では、候補値 との差を取ると
ここで だから、等号は のときに限る。
一方、 では なので
したがって全範囲 で
である。