東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},\sqrt{3}),\overrightarrow{OB}=(-\sqrt{3},0,1)$$である。平面 $OAB$ の法線ベクトルを $$\overrightarrow{n}=(X,Y,Z)$$ とすると、$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{OA}=0,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{OB}=0$$である。すなわち $$X+\sqrt{2}Y+\sqrt{3}Z=0,-\sqrt{3}X+Z=0$$ を満たす。これを満たすベクトルの一つとして $$\overrightarrow{n}=(\sqrt{2},-4,\sqrt{6})$$ がとれる。実際、$$\sqrt{2}-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=0,-\sqrt{6}+\sqrt{6}=0$$ である。

この大きさは $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{2+16+6}=2\sqrt{6}$$ である。平面 $OAB$ は原点を通るので、平面からの距離が1で原点に最も近い点は、原点から単位法線ベクトルの方向に進んだ点である。$x$ 座標が正になる向きを選ぶと$$H=\frac{\overrightarrow{n}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{n}\mathrm{\mid }}=\frac{1}{2\sqrt{6}}(\sqrt{2},-4,\sqrt{6})$$である。したがって $$H=(\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{1}{2})$$ である。

(2)
平面 $OAB$ は原点を通り、法線ベクトルを $\overrightarrow{n}$ とするので、点 $C$ と平面 $OAB$ の距離は$$\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{n}\mathrm{\mid }}$$である。ここで $$\overrightarrow{OC}=(\sqrt{6},-\sqrt{3},\sqrt{2})$$ だから$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{OC}=\sqrt{2}\sqrt{6}+(-4)(-\sqrt{3})+\sqrt{6}\sqrt{2}=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$$である。よって距離は $$\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=2\sqrt{2}$$ である。

(3) $\mathrm{△}OAB$ の面積は、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のつくる平行四辺形の面積の半分である。法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ はその平行四辺形の面積を大きさとして持つので、$$\mathrm{△}OAB\text{ の面積}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{6}$$ である。

(2) より、点 $C$ から平面 $OAB$ までの距離、すなわち四面体の高さは $2\sqrt{2}$ である。したがって四面体 $OABC$ の体積は $$\frac{1}{3}\cdot \sqrt{6}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$ である。

外積で平面 $OAB$ の法線と平面方程式を一度に求める。距離1の平行平面への原点からの垂線の足として $H$ を求め、点 $C$ との距離には平面方程式、体積にはスカラー三重積を用いる。

(1) $$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=\mid \begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ 1& \sqrt{2}& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 0& 1\end{array}\mid =(\sqrt{2},-4,\sqrt{6})=\mathit{n}\mathrm{.}$$したがって平面 $OAB$ は$$\sqrt{2}x-4y+\sqrt{6}z=0$$であり、$\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }=2\sqrt{6}$ である。

平面から距離1の2平面は $$\mathit{n}\cdot \mathit{x}=\pm 2\sqrt{6}$$ である。各平面上で原点に最も近い点は原点からの垂線の足、すなわち単位法線ベクトル $\pm \mathit{n}\mathrm{/}\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }$ である。$x$ 座標が正の方を選ぶと$$H=\frac{\mathit{n}}{\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }}=(\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{1}{2})\mathrm{.}$$(2)
平面方程式へ $C(\sqrt{6},-\sqrt{3},\sqrt{2})$ を代入すると分子は$$\mathrm{\mid }\sqrt{2}\sqrt{6}+4\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{2}\mathrm{\mid }=8\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって距離は$$\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)
四面体の体積はスカラー三重積の絶対値の $1\mathrm{/}6$ だから$$V=\frac{1}{6}\mid (\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}\mid =\frac{1}{6}\cdot 8\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$