問題
空間内の点，，，を頂点とする四面体を考える。3点を含む平面からの距離が1の点のうち，点に最も近く，座標が正のものをとする。
(1) の座標を求めよ。
(2) 3点を含む平面と点の距離を求めよ。
(3) 四面体の体積を求めよ。
方針
解法1
平面 は原点を通るので、 と の両方に垂直な法線ベクトルを求める。距離1で原点に最も近い点は、原点から法線方向に長さ1だけ進んだ点であり、 座標が正の向きを選ぶ。(2) は同じ法線ベクトルを用いて点と平面の距離を計算し、(3) は底面 の面積と点 からの高さで体積を求める。
解法2
外積で平面 の法線と平面方程式を一度に求める。距離1の平行平面への原点からの垂線の足として を求め、点 との距離には平面方程式、体積にはスカラー三重積を用いる。
解答
解法1
(1)
である。平面 の法線ベクトルを とすると、
である。すなわち を満たす。これを満たすベクトルの一つとして がとれる。実際、 である。
この大きさは である。平面 は原点を通るので、平面からの距離が1で原点に最も近い点は、原点から単位法線ベクトルの方向に進んだ点である。 座標が正になる向きを選ぶと
である。したがって である。
(2)
平面 は原点を通り、法線ベクトルを とするので、点 と平面 の距離は
である。ここで だから
である。よって距離は である。
(3)
の面積は、 と のつくる平行四辺形の面積の半分である。法線ベクトル はその平行四辺形の面積を大きさとして持つので、 である。
(2) より、点 から平面 までの距離、すなわち四面体の高さは である。したがって四面体 の体積は である。
解法2
(1)
したがって平面 は
であり、 である。
平面から距離1の2平面は である。各平面上で原点に最も近い点は原点からの垂線の足、すなわち単位法線ベクトル である。 座標が正の方を選ぶと
(2)
平面方程式へ を代入すると分子は
したがって距離は
(3)
四面体の体積はスカラー三重積の絶対値の だから