東北大学 2022年度
文系数学 第3問

解答

解法1

(1)

直線 $l:ax+by-2=0$ と原点の距離は $\frac{|-2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。これが $2$ 以上である条件は $\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geqq 2$ すなわち $a^2+b^2\leqq 1$ である。

また、直線 $l$ と直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標は $a+by-2=0$ より $y=\frac{2-a}{b}$ である。$b>0$ なので、これが $2$ 以上である条件は $\frac{2-a}{b}\geqq 2$ すなわち $a+2b\leqq 2$ である。

したがって、求める範囲 $D$ は $a>0,b>0,a^2+b^2\leqq 1,a+2b\leqq 2$ で表される。図示すれば、$ab$ 平面の第1象限で、原点中心半径 $1$ の円の内部または周上にあり、直線 $a+2b=2$ の下側にある部分である。ただし座標軸上の点は $a>0,b>0$ により含まれない。

(2)

$D$ では $a^2+b^2\leqq 1$ である。コーシー・シュワルツの不等式より $3a+2b\leqq \sqrt{3^2+2^2}\sqrt{a^2+b^2}\leqq \sqrt{13}$ である。

等号が成り立つには、$(a,b)$ が $(3,2)$ と同じ向きで、かつ $a^2+b^2=1$ であればよい。したがって候補は $(a,b)=\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$ である。この点について $a+2b=\frac{3}{\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{13}}<2$ であり、$a>0,b>0$ も満たす。よってこの点は $D$ に含まれる。

したがって、$3a+2b$ を最大にする値は $a=\frac{3}{\sqrt{13}},b=\frac{2}{\sqrt{13}}$ であり、最大値は $\sqrt{13}$ である。

解法2

(1)

原点から $ax+by-2=0$ までの距離条件は

また $x=1$ との交点の $y$ 座標は $(2-a)/b$ だから、$b>0$ に注意して

したがって

円と直線の第1象限内の交点は $(4/5,3/5)$ である。

座標軸上は含まず、円弧と直線の境界は含む。

(2)

$3a+2b=c$ とおく。この直線と原点との距離は $c/\sqrt{13}$ である。単位円板と交わるには $c/\sqrt{13}\leqq 1$、すなわち $c\leqq \sqrt{13}$ が必要である。$c=\sqrt{13}$ のとき直線は単位円に接し、接点は法線ベクトル $(3,2)$ の向きだから

この点では

であり、正値条件も満たすから実際に $D$ に属する。よって

である。