東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
直線 $l:ax+by-2=0$ と原点の距離は $$\frac{\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ である。これが $2$ 以上である条件は $\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geqq 2$ すなわち $a^2+b^2\leqq 1$ である。

また、直線 $l$ と直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標は $a+by-2=0$ より $$y=\frac{2-a}{b}$$ である。$b>0$ なので、これが $2$ 以上である条件は $\frac{2-a}{b}\geqq 2$ すなわち $a+2b\leqq 2$ である。

したがって、求める範囲 $D$ は $$a>0,b>0,a^2+b^2\leqq 1,a+2b\leqq 2$$ で表される。図示すれば、$ab$ 平面の第1象限で、原点中心半径 $1$ の円の内部または周上にあり、直線 $a+2b=2$ の下側にある部分である。ただし座標軸上の点は $a>0,b>0$ により含まれない。

(2) $D$ では $a^2+b^2\leqq 1$ である。コーシー・シュワルツの不等式より $$3a+2b\leqq \sqrt{3^2+2^2}\sqrt{a^2+b^2}\leqq \sqrt{13}$$ である。

等号が成り立つには、$(a,b)$ が $(3,2)$ と同じ向きで、かつ $a^2+b^2=1$ であればよい。したがって候補は $$(a,b)=(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}})$$ である。この点について $$a+2b=\frac{3}{\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{13}}<2$$ であり、$a>0,b>0$ も満たす。よってこの点は $D$ に含まれる。

したがって、$3a+2b$ を最大にする値は $$a=\frac{3}{\sqrt{13}},b=\frac{2}{\sqrt{13}}$$ であり、最大値は $\sqrt{13}$ である。

目的関数 $3a+2b$ の等高線を平行移動する幾何学的な線形計画法で解く。原点から直線 $3a+2b=c$ までの距離が1となる最大の $c$ を求め、接点が追加条件 $a+2b\leqq 2$ を満たすことを確認する。

(1)
原点から $ax+by-2=0$ までの距離条件は$$\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geqq 2⟺a^2+b^2\leqq 1.$$また $x=1$ との交点の $y$ 座標は $(2-a)\mathrm{/}b$ だから、$b>0$ に注意して$$\frac{2-a}{b}\geqq 2⟺a+2b\leqq 2.$$したがって$$D=\{(a,b)\mid a>0,b>0,a^2+b^2\leqq 1,a+2b\leqq 2\}\mathrm{.}$$円と直線の第1象限内の交点は $(4\mathrm{/}5,3\mathrm{/}5)$ である。

座標軸上は含まず、円弧と直線の境界は含む。

(2)
$3a+2b=c$ とおく。この直線と原点との距離は $c\mathrm{/}\sqrt{13}$ である。
単位円板と交わるには $c\mathrm{/}\sqrt{13}\leqq 1$、すなわち $$c\leqq \sqrt{13}$$ が必要である。$$c=\sqrt{13}$$ のとき直線は単位円に接し、接点は法線ベクトル $(3,2)$ の向きだから$$(a,b)=(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}})\mathrm{.}$$この点では$$a+2b=\frac{7}{\sqrt{13}}<2$$であり、正値条件も満たすから実際に $D$ に属する。よって$$a=\frac{3}{\sqrt{13}},b=\frac{2}{\sqrt{13}},\max (3a+2b)=\sqrt{13}$$である。