問題
平面上の半径1の円の中心から距離4だけ離れた点をとる。点を通る円の2本の接線を考え，この2本の接線と円の接点をそれぞれ，とする。以下の問いに答えよ。
(1) 三角形の面積を求めよ。
(2) 三角形の内接円の半径と，三角形の外接円の半径をそれぞれ求めよ。
方針
解法1（標準解法）
を 軸に置き，円を ， としてよい。接点 では半径 と接線 が垂直なので，内積条件と円の条件から が決まる。2つの接点は上下対称で，底辺 と高さがすぐ出る。内接円半径は ，外接円半径は を用いる。
別解（接線の対称性と外接円の中心）
直角三角形 と接点弦 の対称性から底辺と高さを求める。外接円については中心が対称軸 上にあることを用いる。
解答
解法1（標準解法）
(1)
図形は回転しても面積や長さが変わらないので，，，円 として考える。接点の一つを とする。接点では半径 と接線 が垂直であるから， である。すなわち である。また は円上にあるので である。したがって となり， である。
円上の条件から である。よって2つの接点は である。したがって であり， から直線 ，すなわち までの距離は である。よって三角形 の面積 は
である。
(2)
接線の長さは，直角三角形 から である。また(1)より である。半周長を とすると である。
内接円の半径を とすると だから
である。
外接円の半径を とする。三角形の三辺を用いる面積公式 より
である。右辺の分子は なので， である。
別解（接線の対称性と外接円の中心）
(1)
であるから，直角三角形 により
二つの接点は直線 に関して対称であり， である。 から へ下ろした垂線の足を とすると，相似または射影から
よって
したがって面積は
(2)
半周長は
面積を とすれば なので
外接円の中心 は対称軸 上にある。 とおくと，座標を ，， として
より
であり， を得る。よって