東北大 2023年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

平方完成 $f (x) = (x + a)^{2} - a^{2} - 3$ で頂点 $x = - a$ と区間 $[a, a + 3]$ の位置関係を見る。最大値は下に凸の2次関数なので端点の大きい方で決まり， $f (a + 3) - f (a) = 12 a + 9$ の符号で分ける。最小値は，頂点が区間の左側・内部・右側のどこにあるかで分ける。(3) は(2)の各場合でさらに最小値を比較する。

解答

(1) $f (x) = x^{2} + 2 a x - 3$ は下に凸の2次関数である。したがって閉区間 $[a, a + 3]$ における最大値は，どちらかの端点でとる。

端点での値は $f (a) = a^{2} + 2 a^{2} - 3 = 3 a^{2} - 3$ および $f (a + 3) = (a + 3)^{2} + 2 a (a + 3) - 3 = 3 a^{2} + 12 a + 6$ である。差をとると $f (a + 3) - f (a) = 12 a + 9$ である。よって $a < - 3 / 4$ では $f (a)$ の方が大きく， $a ≧ - 3 / 4$ では $f (a + 3)$ の方が大きい。したがって $M (a) = {\begin{cases} 3 a^{2} - 3 & (a < - \frac{3}{4}), \\ 3 a^{2} + 12 a + 6 & (a ≧ - \frac{3}{4}) \end{cases}$ である。

(2)
平方完成すると $f (x) = (x + a)^{2} - a^{2} - 3$ であり，頂点の $x$ 座標は $- a$ である。

頂点が区間 $[a, a + 3]$ に入る条件は $a ≦ - a ≦ a + 3$ である。これは $- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0$ と同値である。 $a < - 3 / 2$ のとき，頂点 $- a$ は区間の右側にあるので，区間上では右端 $x = a + 3$ で最小値をとる。 $- 3 / 2 ≦ a ≦ 0$ のときは頂点で最小値をとる。 $a > 0$ のとき，頂点は区間の左側にあるので，左端 $x = a$ で最小値をとる。したがって $m (a) = {\begin{cases} 3 a^{2} + 12 a + 6 & (a < - \frac{3}{2}), \\ - a^{2} - 3 & (- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0), \\ 3 a^{2} - 3 & (0 < a) \end{cases}$ である。

(3)
(2)の3つの場合で $m (a)$ の最小値を調べる。 $a < - 3 / 2$ では $3 a^{2} + 12 a + 6 = 3 (a + 2)^{2} - 6$ である。 $a = - 2$ はこの範囲に入るので，この場合の最小値は $- 6$ である。 $- 3 / 2 ≦ a ≦ 0$ では $m (a) = - a^{2} - 3$ であり，この区間での最小値は $a = - 3 / 2$ のとき $- \frac{9}{4} - 3 = - \frac{21}{4}$ である。これは $- 6$ より大きい。 $a > 0$ では $m (a) = 3 a^{2} - 3 > - 3$ である。以上より， $a$ がすべての実数を動くときの $m (a)$ の最小値は $- 6$ である。

別解

別解（区間を固定して二変数を平方完成）

方針

$x = a + t$ と置いて動く区間を $0 ≦ t ≦ 3$ に固定する。最後は $a, t$ を同時に動かす二変数の式を平方完成する。

解答

区間を固定するため $x = a + t, 0 ≦ t ≦ 3$ とおく。このとき $f (a + t) = 3 a^{2} + 4 a t + t^{2} - 3 = : g_{a} (t) .$ (1)
$g_{a} (t)$ は $t$ について下に凸なので，最大値は端点でとる。 $g_{a} (0) = 3 a^{2} - 3, g_{a} (3) = 3 a^{2} + 12 a + 6.$ 両者の差は $12 a + 9$ であるから $M (a) = {\begin{cases} 3 a^{2} - 3 & (a < - \frac{3}{4}), \\ 3 a^{2} + 12 a + 6 & (a ≧ - \frac{3}{4}) . \end{cases}$ (2)
$g_{a}^{'} (t) = 2 t + 4 a$ なので頂点は $t = - 2 a$ である。これが $0 ≦ t ≦ 3$ に入る条件は $- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0.$ したがって $m (a) = {\begin{cases} g_{a} (3) = 3 a^{2} + 12 a + 6 & (a < - \frac{3}{2}), \\ g_{a} (- 2 a) = - a^{2} - 3 & (- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0), \\ g_{a} (0) = 3 a^{2} - 3 & (a > 0) . \end{cases}$ (3)
$a$ も自由に動かすときは，二変数の式を $\begin{aligned} g_{a} (t) & = 3 a^{2} + 4 a t + t^{2} - 3 \\ = 3 {(a + \frac{2 t}{3})}^{2} - \frac{t^{2}}{3} - 3 \end{aligned}$ と平方完成できる。固定した $t$ に対しては $a = - 2 t / 3$ のとき最小であり，その値は $- \frac{t^{2}}{3} - 3.$ $0 ≦ t ≦ 3$ では $t = 3$ のとき最小となる。よって $a = - 2$ ， $x = a + t = 1$ のとき $\min m (a) = - \frac{3^{2}}{3} - 3 = - 6.$

総評

動く区間上の2次関数の最大・最小を場合分けする基本問題。目安時間は15分。最大値は頂点ではなく端点比較で決まるため， $f (a + 3) - f (a)$ の符号を先に見る。最小値では頂点 $- a$ が区間 $[a, a + 3]$ に入るかが分岐で， $a = - 3 / 2, 0$ が境目になる。最後の全体最小では，各場合の範囲内に二次式の頂点が含まれるかまで確認することが大切である。区間端点・頂点の比較と二変数の同時最小化で，最小値 $- 6$ まで一致した。

出典: 東北大学 2023年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

別解

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解答

総評

東北大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問