東北大 2023年度文系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

線分 $P Q$ は常に方向ベクトル $(1, 1)$ をもつので， $u = X, v = Y - X$ に座標変換する。この変換は面積を変えず，線分は $v = f (x) - x$ ， $x ≦ u ≦ x + 1$ という水平な長さ1の区間になる。(1) は $v$ の値ごとに2つの枝から来る区間の和集合の幅を数える。(2) は微分で接線を出す。(3) は $f (x) - x$ が単調なので，各 $v$ に対応する $x$ が1つだけで，幅が常に1になる。

解答

点 $P Q$ 上の点を $(X, Y)$ とし， $u = X, v = Y - X$ とおく。この座標変換は平行四辺形の面積を変えない。実際，逆変換は $X = u, Y = u + v$ であり，単位正方形は面積1の平行四辺形に移る。 $P = (x, f (x))$ ， $Q = (x + 1, f (x) + 1)$ であるから，線分 $P Q$ 上では $v = f (x) - x, x ≦ u ≦ x + 1$ である。以下， $v$ ごとの $u$ 方向の幅を数える。

(1) $0 ≦ x ≦ 1$ では $f (x) = 2 x$ なので $v = f (x) - x = x$ であり， $0 ≦ v ≦ 1$ ， $u$ の範囲は $v ≦ u ≦ v + 1$ である。 $1 ≦ x ≦ 2$ では $f (x) = - 2 x + 4$ なので $v = f (x) - x = 4 - 3 x$ であり， $- 2 ≦ v ≦ 1$ ， $x = (4 - v) / 3$ だから $\frac{4 - v}{3} ≦ u ≦ \frac{7 - v}{3}$ である。 $- 2 ≦ v < 0$ では後半の枝だけが現れるので幅は1である。 $0 ≦ v ≦ 1$ では2つの長さ1の区間 $[v, v + 1], [\frac{4 - v}{3}, \frac{7 - v}{3}]$ の和集合を考える。これらが重ならない条件は $v + 1 < \frac{4 - v}{3}$ すなわち $v < 1 / 4$ である。したがって幅は， $0 ≦ v < 1 / 4$ で2， $1 / 4 ≦ v ≦ 1$ で $\frac{7 - v}{3} - v = \frac{7 - 4 v}{3}$ である。

よって面積 $S$ は $S = \int_{- 2}^{0} 1 d v + \int_{0}^{1 / 4} 2 d v + \int_{1 / 4}^{1} \frac{7 - 4 v}{3} d v$ である。計算すると $S = 2 + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{29}{8}$ である。

(2) $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ であるから $f^{'} (x) = x - 1$ である。傾きが1となるのは $x = 2$ のときであり，接点は $(2, \frac{1}{2})$ である。したがって接線の方程式は $y - \frac{1}{2} = x - 2$ すなわち $y = x - \frac{3}{2}$ である。

(3)
このとき $f (x) - x = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - x = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{2}$ である。これを $h (x)$ とおくと $h^{'} (x) = x - 2$ であるから， $0 ≦ x ≦ 2$ で $h (x)$ は単調減少する。また $h (0) = \frac{1}{2}, h (2) = - \frac{3}{2}$ である。

したがって $- 3 / 2 ≦ v ≦ 1 / 2$ の各 $v$ に対応する $x$ はただ1つであり，そのときの線分の $u$ 方向の長さは常に1である。よって $S = \int_{- 3 / 2}^{1 / 2} 1 d v = 2$ である。

別解

別解（掃過する平行四辺形とヤコビアン）

方針

線分上の点を $(x + t, f (x) + t)$ と媒介表示する。(1) は二つの平行四辺形の和集合，(3) は写像の面積倍率を積分して求める。

解答

線分 $P Q$ 上の点は $(X, Y) = (x + t, f (x) + t), 0 ≦ t ≦ 1$ と表せる。

(1)
$0 ≦ x ≦ 1$ では $f (x) = 2 x$ であり，掃過領域は $(0, 0), (1, 1), (2, 3), (1, 2)$ を頂点とする平行四辺形 $D_{1}$ である。その面積は $∣ \det (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}) ∣ = 1.$ $1 ≦ x ≦ 2$ では $f (x) = - 2 x + 4$ であり，掃過領域は $(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 0)$ を頂点とする平行四辺形 $D_{2}$ である。その面積は $∣ \det (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array}) ∣ = 3.$ 重なりの面積だけを求めるため $u = X, v = Y - X$ とせん断する。この変換は面積を保つ。 $D_{1}$ の水平断面は $[v, v + 1] (0 ≦ v ≦ 1),$ $D_{2}$ の水平断面は $[\frac{4 - v}{3}, \frac{7 - v}{3}] (- 2 ≦ v ≦ 1)$ である。二つが重なるのは $1 / 4 ≦ v ≦ 1$ で，重なりの幅は $v + 1 - \frac{4 - v}{3} = \frac{4 v - 1}{3} .$ よって重なりの面積は $\int_{1 / 4}^{1} \frac{4 v - 1}{3} d v = \frac{3}{8} .$ したがって $S = 1 + 3 - \frac{3}{8} = \frac{29}{8} .$ (2) $f^{'} (x) = x - 1$ だから，傾き1となる接点の $x$ 座標は2である。接点 $(2, 1 / 2)$ を通るので $y - \frac{1}{2} = x - 2, y = x - \frac{3}{2} .$ (3)
写像 $(x, t) ⟼ (X, Y) = (x + t, f (x) + t)$ の面積倍率は $∣ \det (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ f^{'} (x) & 1 \end{array}) ∣ = ∣ 1 - f^{'} (x) ∣ = 2 - x .$ また $f (x) - x$ は $0 ≦ x ≦ 2$ で狭義に減少するため，異なる $x$ から生じる線分の内部は重ならない。したがって $S = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (2 - x) d t d x = \int_{0}^{2} (2 - x) d x = 2.$

総評

線分の掃過領域を面積保存の座標変換で見る問題。目安時間は25分。 $u = X, v = Y - X$ に直すと，斜めの線分が水平な長さ1の区間になり，重なりを幅で数えられる。(1) は2つの枝の区間が $v = 1 / 4$ で重なり始めることを見落としやすい。(3) は $f (x) - x$ の単調性により同じ $v$ に対応する $x$ が1つだけになるため，幅が常に1となる。せん断座標による積分と平行四辺形の重なりの計算で， $S = 29 / 8, 2$ が一致した。

出典: 東北大学 2023年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

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