東北大学 2023年度文系数学第4問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ に対して，座標平面上の2つの点 $P (x, f (x))$ ， $Q (x + 1, f (x) + 1)$ を考える。実数 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ の範囲を動くとき，線分 $P Q$ が通過してできる図形の面積を $S$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $f (x) = - 2∣ x - 1∣ + 2$ に対して， $S$ の値を求めよ。

(2) 関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して，曲線 $y = f (x)$ の接線で，傾きが1のものの方程式を求めよ。

(3) 設問(2)の関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して， $S$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

解法1（標準解法）

線分 $P Q$ は常に方向ベクトル $(1, 1)$ をもつので， $u = X, v = Y - X$ に座標変換する。この変換は面積を変えず，線分は $v = f (x) - x$ ， $x ≦ u ≦ x + 1$ という水平な長さ1の区間になる。(1) は $v$ の値ごとに2つの枝から来る区間の和集合の幅を数える。(2) は微分で接線を出す。(3) は $f (x) - x$ が単調なので，各 $v$ に対応する $x$ が1つだけで，幅が常に1になる。

別解（掃過する平行四辺形とヤコビアン）

線分上の点を $(x + t, f (x) + t)$ と媒介表示する。(1) は二つの平行四辺形の和集合，(3) は写像の面積倍率を積分して求める。

解答

解法1（標準解法）

点 $P Q$ 上の点を $(X, Y)$ とし， $u = X, v = Y - X$ とおく。この座標変換は平行四辺形の面積を変えない。実際，逆変換は $X = u, Y = u + v$ であり，単位正方形は面積1の平行四辺形に移る。 $P = (x, f (x))$ ， $Q = (x + 1, f (x) + 1)$ であるから，線分 $P Q$ 上では $v = f (x) - x, x ≦ u ≦ x + 1$ である。以下， $v$ ごとの $u$ 方向の幅を数える。

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $f (x) = 2 x$ なので $v = f (x) - x = x$ であり， $0 ≦ v ≦ 1$ ， $u$ の範囲は $v ≦ u ≦ v + 1$ である。 $1 ≦ x ≦ 2$ では $f (x) = - 2 x + 4$ なので $v = f (x) - x = 4 - 3 x$ であり， $- 2 ≦ v ≦ 1$ ， $x = (4 - v) /3$ だから $\frac{4 - v}{3} ≦ u ≦ \frac{7 - v}{3}$ である。 $- 2 ≦ v < 0$ では後半の枝だけが現れるので幅は1である。 $0 ≦ v ≦ 1$ では2つの長さ1の区間 $[v, v + 1], [\frac{4 - v}{3}, \frac{7 - v}{3}]$ の和集合を考える。これらが重ならない条件は $v + 1 < \frac{4 - v}{3}$ すなわち $v < 1/4$ である。したがって幅は， $0 ≦ v < 1/4$ で2， $1/4 ≦ v ≦ 1$ で $\frac{7 - v}{3} - v = \frac{7 - 4 v}{3}$ である。

よって面積 $S$ は

S = \int_{- 2}^{0} 1 d v + \int_{0}^{1/4} 2 d v + \int_{1/4}^{1} \frac{7 - 4 v}{3} d v

である。計算すると $S = 2 + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{29}{8}$ である。

(2)

$f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ であるから $f^{'} (x) = x - 1$ である。傾きが1となるのは $x = 2$ のときであり，接点は $(2, \frac{1}{2})$ である。したがって接線の方程式は $y - \frac{1}{2} = x - 2$ すなわち $y = x - \frac{3}{2}$ である。

(3)

このとき $f (x) - x = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - x = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{2}$ である。これを $h (x)$ とおくと $h^{'} (x) = x - 2$ であるから， $0 ≦ x ≦ 2$ で $h (x)$ は単調減少する。また $h (0) = \frac{1}{2}, h (2) = - \frac{3}{2}$ である。

したがって $- 3/2 ≦ v ≦ 1/2$ の各 $v$ に対応する $x$ はただ1つであり，そのときの線分の $u$ 方向の長さは常に1である。よって $S = \int_{- 3/2}^{1/2} 1 d v = 2$ である。

別解（掃過する平行四辺形とヤコビアン）

線分 $P Q$ 上の点は

(X, Y) = (x + t, f (x) + t), 0 ≦ t ≦ 1

と表せる。

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $f (x) = 2 x$ であり，掃過領域は

(0, 0), (1, 1), (2, 3), (1, 2)

を頂点とする平行四辺形 $D_{1}$ である。その面積は

det (1211) = 1.

$1 ≦ x ≦ 2$ では $f (x) = - 2 x + 4$ であり，掃過領域は

(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 0)

を頂点とする平行四辺形 $D_{2}$ である。その面積は

det (1 - 2 11) = 3.

重なりの面積だけを求めるため

u = X, v = Y - X

とせん断する。この変換は面積を保つ。 $D_{1}$ の水平断面は

[v, v + 1] (0 ≦ v ≦ 1),

$D_{2}$ の水平断面は

[\frac{4 - v}{3}, \frac{7 - v}{3}] (- 2 ≦ v ≦ 1)

である。二つが重なるのは $1/4 ≦ v ≦ 1$ で，重なりの幅は

v + 1 - \frac{4 - v}{3} = \frac{4 v - 1}{3} .

よって重なりの面積は

\int_{1/4}^{1} \frac{4 v - 1}{3} d v = \frac{3}{8} .

したがって

S = 1 + 3 - \frac{3}{8} = \frac{29}{8} .

(2)

f^{'} (x) = x - 1

だから，傾き1となる接点の $x$ 座標は2である。接点 $(2, 1/2)$ を通るので

y - \frac{1}{2} = x - 2, y = x - \frac{3}{2} .

(3)

写像

(x, t) ⟼ (X, Y) = (x + t, f (x) + t)

の面積倍率は

det (1 f^{'} (x) 11) = ∣1 - f^{'} (x) ∣ = 2 - x .

また $f (x) - x$ は $0 ≦ x ≦ 2$ で狭義に減少するため，異なる $x$ から生じる線分の内部は重ならない。したがって

S = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (2 - x) d t d x = \int_{0}^{2} (2 - x) d x = 2.

東北大学 2023年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（掃過する平行四辺形とヤコビアン）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

別解（掃過する平行四辺形とヤコビアン）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2023年度
文系数学第4問