東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

条件（ロ）を考える。点 $A(1,1,0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線の方向は鉛直方向である。直線 $PA$ がその方向となす角が $\pi \mathrm{/}4$ であるから、$PA$ の水平成分の長さと鉛直成分の長さが等しい。$z>0$ なので $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=z^2$ である。同様に条件（ハ）から $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=z^2$ を得る。

2つの式を引くと $(y-1{)}^2-(y+1{)}^2=0$ であり、したがって $y=0$ である。これを上の式に代入して $z^2=(x-1{)}^2+1$ を得る。

次に $$u=\tan \alpha (u\geqq 0)$$ とおく。条件（ニ）は、点 $C$ から見た水平距離が $z\tan \alpha$ に等しいことを表すので、$y=0$ と合わせて $x^2=z^2{u}^2$ である。

まず $u=0$、すなわち $\alpha =0$ のときは $x=0$ である。よって $z^2=(-1{)}^2+1=2$ となり、$z>0$ より $z=\sqrt{2}$ である。この場合、点 $P$ は1個である。

以下 $u>0$ とする。$x=uz$ の場合、$z^2=(uz-1{)}^2+1$ より $(1-u^2)z^2+2uz-2=0$ である。$x=-uz$ の場合は $z^2=(-uz-1{)}^2+1$ より $(1-u^2)z^2-2uz-2=0$ である。 $0<u<1$ では、どちらの式も正の解を1つずつもつ。$\sqrt{2-u^2}$ を用いて整理すると、対応する $z$ は $$z={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2-u^2}+u}},z={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2-u^2}-u}}$$ である。したがって点は2個である。 $u=1$ のときは、$x=uz$ から $2z-2=0$ となり $z=1$ を得る。$x=-uz$ からは $-2z-2=0$ となり正の $z$ は得られない。よって点は1個で、$z=1$ である。 $1<u<\sqrt{2}$ では、正の解は $x=uz$ の式から2つ得られる。整理すると $$z={\displaystyle \frac{2}{u+\sqrt{2-u^2}}},z={\displaystyle \frac{2}{u-\sqrt{2-u^2}}}$$ である。したがって点は2個である。 $u=\sqrt{2}$ のときは重なって $z=\sqrt{2}$ だけを得るので、点は1個である。$u>\sqrt{2}$ では正の解がないので、点は存在しない。

以上を $u=\tan \alpha$ と戻してまとめると、$$\begin{array}{ccc}\tan \alpha & \text{点の個数}& z\\ 0& 1& \sqrt{2}\\ 0<\tan \alpha <1& 2& {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2-{\tan }^2\alpha }+\tan \alpha }},\\ {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2-{\tan }^2\alpha }-\tan \alpha }}\\ \tan \alpha =1& 1& 1\\ 1<\tan \alpha <\sqrt{2}& 2& {\displaystyle \frac{2}{\tan \alpha +\sqrt{2-{\tan }^2\alpha }}},\\ {\displaystyle \frac{2}{\tan \alpha -\sqrt{2-{\tan }^2\alpha }}}\\ \tan \alpha =\sqrt{2}& 1& \sqrt{2}\\ \tan \alpha >\sqrt{2}& 0& \text{なし}\end{array}$$である。

3条件が作る曲面を $xz$ 平面で切る。条件（ロ）（ハ）の共通部分は
$z^2=(x-1{)}^2+1$、条件（ニ）は原点を通る2直線 $x=\pm z\tan \alpha$ になる。
直線と上側の曲線の交点数を傾きごとに調べる。

条件（ロ）（ハ）をそれぞれ2乗して引くと $y=0$ であり、$$z^2=(x-1{)}^2+1.$$$u=\tan \alpha$ とおけば条件（ニ）は$$x=\pm uz,z>0$$である。したがって、上側の曲線 $$z=\sqrt{(x-1{)}^2+1}$$ と
原点を通る2直線の交点を数えればよい。

$x=uz$ を代入すると$$(1-u^2)z^2+2uz-2=0,$$$x=-uz$ を代入すると$$(1-u^2)z^2-2uz-2=0.$$判別式はいずれも$$4(2-u^2)$$である。正の根だけを残すと次の表になる。$$\begin{array}{ccc}u& \text{個数}& z\\ 0& 1& \sqrt{2}\\ 0<u<1& 2& {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2-u^2}+u}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2-u^2}-u}}\\ u=1& 1& 1\\ 1<u<\sqrt{2}& 2& {\displaystyle \frac{2}{u+\sqrt{2-u^2}}},{\displaystyle \frac{2}{u-\sqrt{2-u^2}}}\\ u=\sqrt{2}& 1& \sqrt{2}\\ u>\sqrt{2}& 0& \text{なし}\end{array}$$最後に $u=\tan \alpha$ と戻せばよい。