東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

放物線 $C:y=x^2$ の点 $Q(t,t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。したがって法線方向のベクトルとして $(-2t,1)$ を取れる。このベクトルの長さは $\sqrt{1+4t^2}$ である。

条件（ハ）では、$P$ と $Q$ の距離が $(t-t^2)\sqrt{1+4t^2}$ である。$0\leqq t\leqq 1$ だから $t-t^2\geqq 0$ であり、条件（ロ）の $y\geqq x^2$ を満たす側は上向きの法線方向である。したがって $P=Q+(t-t^2)(-2t,1)$ である。よって $$P=(t-2t^2+2t^3,t^2+t-t^2)=(t-2t^2+2t^3,t)$$ となる。これが $C^{\mathrm{\prime }}$ の媒介変数表示である。

ここで $C^{\mathrm{\prime }}$ 上では $y=t$ であり、$0\leqq t\leqq 1$ に対して $y$ は0から1まで動く。したがって $y=t$ と見ると、$C^{\mathrm{\prime }}$ の $x$ 座標は $x=t-2t^2+2t^3$ である。一方、放物線 $C:y=x^2$ の右側の枝は $$x=\sqrt{y}=\sqrt{t}$$ である。

よって、$C$ と $C^{\mathrm{\prime }}$ で囲まれた面積 $S$ は$$S={\int }_0^1\{\sqrt{t}-(t-2t^2+2t^3)\}dt$$である。計算すると$$S={[{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{t^4}{2}}]}_0^1$$であり、$$S={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。したがって ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

$P$ の媒介表示までは法線条件から求める。
囲まれた領域の面積を、放物線と $C^{\mathrm{\prime }}$ のそれぞれに沿う積分値の差として計算する。

法線方向 $(-2t,1)$ と距離条件から$$P(t)=(t-2t^2+2t^3,t)(0\leqq t\leqq 1)$$である。両曲線は $(0,0)$ と $(1,1)$ を共有する。

放物線 $C$ を $(0,0)$ から $(1,1)$ へ進むと$${\int }_{C}ydx={\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$$C^{\mathrm{\prime }}$ を同じ向きに進むと$${\int }_{C^{\mathrm{\prime }}}ydx={\int }_0^{1}t(1-4t+6t^2)dt={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$2本の境界を逆向きに結んだ閉曲線について、縦帯の面積は$$\mid {\int }_{C}ydx-{\int }_{C^{\mathrm{\prime }}}ydx\mid =\mid {\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$