東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
Aの領土である円板の中心を $O_A=(0,7)$ とする。点 $P(x,y)$ がA、Bのどちらの領土にも含まれないとき、まず $y>0$ であり、Aの円板の外側にある。
このとき、Bの領土 $y\leqq 0$ までの最短距離は $y$ である。またAの領土までの最短距離は $\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}-2$ である。

(2)
条件(2)より、Aまでの距離が $4$ より小さいから $$\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}-2<4$$ すなわち $$\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}<6$$ である。またAの領土外にあるので $$\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}>2$$ である。したがって、点は中心 $(0,7)$、半径 $2$ と $6$ の間の円環にある。

(3)
条件(3)は $$\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}-2<y$$ である。右辺は正なので、両辺を移項して平方してよい。これは $$\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}<y+2$$ と同値であり、平方すると $x^2+(y-7{)}^2<(y+2{)}^2$ である。整理して $x^2-18y+45<0$ となるから $$y>{\displaystyle \frac{x^2}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

よってAの領海は、中心 $(0,7)$、半径 $6$ の円の内部で、放物線 $$y={\displaystyle \frac{x^2}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ より上にあり、さらに半径 $2$ のAの円板を除いた部分である。

半径 $6$ の円の下側は $$y=7-\sqrt{36-x^2}$$ である。これと放物線の交点は $$7-\sqrt{36-x^2}={\displaystyle \frac{x^2}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$ を解いて $x=\pm 3\sqrt{3},y=4$ である。
したがって、半径 $6$ の円のうち放物線より下にある部分の面積は$${\int }_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}}\{{\displaystyle \frac{x^2}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}-(7-\sqrt{36-x^2})\}dx$$である。すなわち$${\int }_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}}({\displaystyle \frac{x^2}{18}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}+\sqrt{36-x^2})dx$$である。この値は $12\pi -15\sqrt{3}$ となる。

半径 $6$ の円板の面積は $36\pi$、Aの領土である半径 $2$ の円板の面積は $4\pi$ である。したがって求める面積は $$36\pi -(12\pi -15\sqrt{3})-4\pi =20\pi +15\sqrt{3}$$ である。

外側の円内・放物線の上側から、$A$ の領土を除く

距離条件から得られる等距離線は放物線である。外側の半径6の円と
放物線の交点を結ぶ弦 $y=4$ を入れ、除外部分を
「円弧と弦の間の円弓形」から「弦と放物線の間」を引いて求める。
円の部分は扇形と三角形だけで計算できる。

$A$ の円板の中心を $O=(0,7)$ とする。$A,B$ の領土外では$$y>0,x^2+(y-7{)}^2>4$$である。これが(1)に当たる。また$$d(P,A)=\sqrt{x^2+(y-7{)}^2}-2,d(P,B)=y\mathrm{.}$$(2)と(3)はそれぞれ$$x^2+(y-7{)}^2<36,y>{\displaystyle \frac{x^2}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$となる。よって、半径6の円板から $A$ の半径2の円板と、
放物線より下にある部分を除けばよい。

円$$x^2+(y-7{)}^2=36$$と放物線の交点は$$(\pm 3\sqrt{3},4)$$である。この2点を結ぶ弦は中心から3だけ離れている。中心から弦へ垂線を下ろし、その垂線と半径のなす角を $\psi$ とすると$$\cos \psi =\frac{3}{6}=\frac{1}{2},0<\psi <\frac{\pi }{2}$$であるから $\psi =\pi \mathrm{/}3$ である。したがって下側の円弧に対する中心角は $2\psi =2\pi \mathrm{/}3$ であり、弦より下の円弓形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6^2\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=12\pi -9\sqrt{3}\mathrm{.}$$一方、弦 $y=4$ と放物線の間の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}}\{4-({\displaystyle \frac{x^2}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{2}})\}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-3\sqrt{3}}^{3\sqrt{3}}({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{18}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\sqrt{3}\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに、円内で放物線より下にある除外部分は$$(12\pi -9\sqrt{3})-6\sqrt{3}=12\pi -15\sqrt{3}\mathrm{.}$$求める領海の面積は$$36\pi -4\pi -(12\pi -15\sqrt{3})=20\pi +15\sqrt{3}\mathrm{.}$$