東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

点 $A$ の $x$ 座標を $u$ とする。このとき $A=(u,u^2),$ $B=(u+a,(u+a{)}^2),$ $C=(u+a+1,(u+a+1{)}^2)$ である。

直線 $AB$ の傾きは $${\displaystyle \frac{(u+a{)}^2-u^2}{a}}=2u+a$$ である。これを $m=2u+a$ とおく。直線 $AC$ の傾きは $${\displaystyle \frac{(u+a+1{)}^2-u^2}{a+1}}=2u+a+1=m+1$$ である。

二直線のなす角を $\varphi =\mathrm{\angle }CAB$ とすると $$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{(m+1)-m}{1+m(m+1)}}={\displaystyle \frac{1}{m^2+m+1}}\mathrm{.}$$ ここで $$m^2+m+1={(m+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ であるから、$\tan \varphi$ は $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき最大になる。今回の角は $$0<\varphi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ なので、$\tan \varphi$ の最大と $\varphi$ の最大は一致する。

したがって $2u+a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ より $$u=-{\displaystyle \frac{2a+1}{4}}\mathrm{.}$$ よって、$\mathrm{\angle }CAB$ が最大になるときの点 $A$ の $x$ 座標は $-{\displaystyle \frac{2a+1}{4}}$ である。

次に、このとき $\mathrm{\angle }ABC$ が直角になる条件を求める。$m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ なので、$B$ から $A$ へ向かうベクトルは $$\overrightarrow{BA}=(-a,{\displaystyle \frac{a}{2}})$$ である。また $$u+a={\displaystyle \frac{2a-1}{4}}$$ だから、$B$ から $C$ へ向かうベクトルは $$\overrightarrow{BC}=(1,2(u+a)+1)=(1,a+{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$ $\mathrm{\angle }ABC$ が直角であることは $$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$ と同値である。したがって $$-a+{\displaystyle \frac{a}{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})=0.$$ $a>0$ なので両辺を $a$ で割って $$-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})=0.$$ よって $a+{\displaystyle \frac{1}{2}}=2$ となり、$a={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$

直線 $AB,AC$ の傾きを $m,m+1$ と置き、角 $\varphi =\mathrm{\angle }CAB$ の正接を $m$ の式で表す。その式を微分して最大点を決め、後半は最大時の傾きから直交条件を立てる。

点 $A$ の $x$ 座標を $u$ とすると$$\mathrm{slope}(AB)=2u+a=:m,\mathrm{slope}(AC)=2u+a+1=m+1.$$$\varphi =\mathrm{\angle }CAB$ とおく。この角は鋭角であり、二直線のなす角の公式から$$\tan \varphi =\frac{(m+1)-m}{1+m(m+1)}=\frac{1}{m^2+m+1}\mathrm{.}$$これを $m$ で微分すると$$\frac{d}{dm}\tan \varphi =-\frac{2m+1}{(m^2+m+1{)}^2}\mathrm{.}$$したがって $\tan \varphi$ は $m=-1\mathrm{/}2$ まで増加し、その後減少する。$0<\varphi <\pi \mathrm{/}2$ では正接も狭義単調に増加するので、$\varphi$ も同じとき最大となる。よって$$2u+a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},u=-{\displaystyle \frac{2a+1}{4}}\mathrm{.}$$このとき$$\overrightarrow{BA}=(-a,{\displaystyle \frac{a}{2}}),\overrightarrow{BC}=(1,a+{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$直角条件は$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-a+{\displaystyle \frac{a}{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})=0.$$$a>0$ だから$$a+{\displaystyle \frac{1}{2}}=2,a={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$