東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

三角形の辺の長さを求める。$$AB=8,BC=\sqrt{(8-6{)}^2+(0-2\sqrt{3}{)}^2}=4,CA=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=4\sqrt{3}$$である。したがって周の長さを $L$ とすると $L=12+4\sqrt{3}$ である。また三角形の面積を $T$ とすると，底辺 $AB=8$，高さ $2\sqrt{3}$ より $$T={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 8\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$$ である。半周長は $s=6+2\sqrt{3}$ なので，内接円の半径 $r_0$ は $$r_0={\displaystyle \frac{T}{s}}=2\sqrt{3}-2$$ である。特に $r_0>1$ である。

(1)
平面 $z=0$ での切り口は，平面内で三角形 $ABC$ の周から距離1以内にある点全体である。

この面積を，三角形の外側の部分と内側の部分に分ける。外側の部分は，3辺に沿う幅1の帯と，3頂点の外側にできる扇形を合わせたものである。外角の和は ${360}^{\circ }$ なので，扇形の面積の和は半径1の円1個分，すなわち $\pi$ である。したがって外側の面積は $L+\pi$ である。

内側の部分は，三角形の内側で周から距離1以内の帯である。$r_0>1$ なので，周から距離1より遠い内側の部分は，もとの三角形と相似な三角形として残る。その内接円半径は $r_0-1$ であるから，面積比は ${\left({\displaystyle \frac{r_0-1}{r_0}}\right)}^2$ である。よって内側の帯の面積は$$T\{1-{\left({\displaystyle \frac{r_0-1}{r_0}}\right)}^2\}={\displaystyle \frac{2T}{r_0}}-{\displaystyle \frac{T}{r_0^2}}$$である。ここで $${\displaystyle \frac{2T}{r_0}}=L,{\displaystyle \frac{T}{r_0^2}}=3+2\sqrt{3}$$ なので，内側の帯の面積は $L-(3+2\sqrt{3})$ である。

したがって切り口の面積は $$(L+\pi )+\{L-(3+2\sqrt{3})\}=2L+\pi -3-2\sqrt{3}$$ である。$L=12+4\sqrt{3}$ を代入して $21+6\sqrt{3}+\pi$ である。

(2)
高さ $z$ で切る。球の半径は1なので，$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\leqq 1$ のときだけ断面があり，その平面内では三角形の周から距離 $$\rho =\sqrt{1-z^2}$$ 以内の点全体になる。ここで $0\leqq \rho \leqq 1<r_0$ であるから，(1) と同じ相似の考え方が使える。

半径 $\rho$ の外側部分の面積は $L\rho +\pi {\rho }^2$ である。内側の帯の面積は$$T\{1-{\left({\displaystyle \frac{r_0-\rho }{r_0}}\right)}^2\}=L\rho -(3+2\sqrt{3}){\rho }^2$$である。したがって高さ $z$ での断面積 $A(z)$ は $$A(z)=2L\rho +(\pi -3-2\sqrt{3}){\rho }^2$$ すなわち $$A(z)=2L\sqrt{1-z^2}+(\pi -3-2\sqrt{3})(1-z^2)$$ である。

よって体積 $V$ は $$V={\int }_{-1}^1\{2L\sqrt{1-z^2}+(\pi -3-2\sqrt{3})(1-z^2)\}dz$$ である。ここで$${\int }_{-1}^1\sqrt{1-z^2}dz={\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\int }_{-1}^1(1-z^2)dz={\displaystyle \frac{4}{3}}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2L\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+(\pi -3-2\sqrt{3})\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (12+4\sqrt{3})+{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-4-{\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{40}{3}}+4\sqrt{3})-4-{\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}}\end{array}$$である。

高さ $z$ の断面で、球の水平半径を $\rho =\sqrt{1-z^2}$ とする。三角形の外側の平行帯と内側の帯を分け、内側に残る相似三角形の面積を引く。得た断面積を $-1\leqq z\leqq 1$ で積分する。

三角形の辺長、周長、面積、内接円半径は$$AB=8,BC=4,CA=4\sqrt{3},L=12+4\sqrt{3},T=8\sqrt{3},r_0=2\sqrt{3}-2>1.$$(1) 三角形の外側で周から距離1以内の面積は $L+\pi$ である。内側で周から距離1以内の面積は、内接円半径 $r_0-1$ の相似三角形を引いて$$T\{1-{\left({\displaystyle \frac{r_0-1}{r_0}}\right)}^2\}=L-(3+2\sqrt{3})\mathrm{.}$$したがって切り口の面積は$$21+6\sqrt{3}+\pi \mathrm{.}$$(2) 高さ $z$ では $$\rho =\sqrt{1-z^2}$$ とおく。$0\leqq \rho \leqq 1<r_0$ なので同じ相似計算が使え、断面積は$$A(z)=2L\rho +(\pi -3-2\sqrt{3}){\rho }^2\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{2L\sqrt{1-z^2}+(\pi -3-2\sqrt{3})(1-z^2)\}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{40}{3}}+4\sqrt{3})-4-{\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$