東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$f(x)=(x^2-3x+2)(x-t)$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x-3)(x-t)+(x^2-3x+2)$$ であり、整理して $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2(t+3)x+3t+2$ となる。
判別式は $$\{-2(t+3){\}}^2-4\cdot 3(3t+2)=4(t^2-3t+3)$$ である。ここで $$t^2-3t+3={(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$$ なので、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は常に異なる2解をもつ。

2解を $\alpha <\beta$ とすると、解と係数の関係から $$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{2(t+3)}{3}}$$ であり、また $$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{t^2-3t+3}$$ である。

次に $t$ と $\alpha ,\beta$ の位置関係を調べる。 $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は上に開く2次式なので、$\alpha <x<\beta$ で負、外側で正である。
したがって $1\leqq t\leqq 2$ では $\alpha \leqq t\leqq \beta$ であり、$2\leqq t\leqq 3$ では $\alpha \leqq \beta \leqq t$ である。 $1\leqq t\leqq 2$ では $$\mathrm{\mid }t-\alpha \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }t-\beta \mathrm{\mid }=\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{t^2-3t+3}$$ である。この右辺は $t=3\mathrm{/}2$ で最小となり、最小値は $${\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$ である。またこの区間の端 $t=1,2$ では値は $2\mathrm{/}3$ である。 $2\leqq t\leqq 3$ では $$\mathrm{\mid }t-\alpha \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }t-\beta \mathrm{\mid }=(t-\alpha )+(t-\beta )=2t-(\alpha +\beta )$$ である。よって $$\mathrm{\mid }t-\alpha \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }t-\beta \mathrm{\mid }=2t-{\displaystyle \frac{2(t+3)}{3}}={\displaystyle \frac{4t}{3}}-2$$ となる。これは $t$ の増加関数なので、$t=3$ で最大値 $2$ をとる。

以上より、求める最大値は $2$ であり、そのとき $t=3$ である。最小値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ であり、そのとき $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。

$t$ が2根の間にある区間では、距離の和は根の間隔に等しい

2つの根 $\alpha ,\beta$ を明示し、$t-\alpha$ と
$t-\beta$ の符号を一度に判定する。$(2t-3{)}^2$ と
$t^2-3t+3$ の差が $3(t-1)(t-2)$ になるため、
絶対値の分岐点 $t=2$ が直接現れる。

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2(t+3)x+3t+2$$である。$D=t^2-3t+3$ とおけば $D>0$ であり、$$\alpha ={\displaystyle \frac{t+3-\sqrt{D}}{3}},\beta ={\displaystyle \frac{t+3+\sqrt{D}}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$t-\alpha ={\displaystyle \frac{2t-3+\sqrt{D}}{3}},t-\beta ={\displaystyle \frac{2t-3-\sqrt{D}}{3}}\mathrm{.}$$ここで$$(2t-3{)}^2-D=3(t-1)(t-2)\mathrm{.}$$$1\leqq t\leqq 2$ では$$\mid 2t-3\mid \leqq \sqrt{D}$$ だから
$t-\alpha \geqq 0$、$t-\beta \leqq 0$ である。よって$$\mid t-\alpha \mid +\mid t-\beta \mid ={\displaystyle \frac{2\sqrt{D}}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{{(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}}\mathrm{.}$$この区間での最小値は $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ のとき$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$であり、最大値は両端での ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。

$2\leqq t\leqq 3$ では $2t-3>0$ かつ$$2t-3\geqq \sqrt{D}$$ だから、両方の差が非負である。したがって$$\mid t-\alpha \mid +\mid t-\beta \mid ={\displaystyle \frac{2(2t-3)}{3}}={\displaystyle \frac{4t}{3}}-2.$$これは増加関数であり、$t=3$ のとき $2$ となる。
以上より$$\text{最大値 }2(t=3),\text{最小値 }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}(t={\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$