東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$X={\displaystyle \frac{x}{c}},Y=cy$$と変換する。このとき $XY=xy$ で領域 $D$ は変わらず、二方向の倍率の積が1なので面積も変わらない。新しい座標で$$C=(1,1),A=(r,0),B=(0,s),r={\displaystyle \frac{a}{c}},s=bc$$と書く。

辺 $AC$ 上の点を$$(X,Y)=(1+\lambda (r-1),1-\lambda )(0\leqq \lambda \leqq 1)$$とおくと$$XY-1=\lambda \{r-2-\lambda (r-1)\}\mathrm{.}$$これが常に0以下となる条件は $0\leqq r\leqq 2$ である。同様に辺 $BC$ から $0\leqq s\leqq 2$ を得る。辺 $AB$ では$$XY=rs\lambda (1-\lambda )\leqq {\displaystyle \frac{rs}{4}}\leqq 1.$$また三角形を水平線で切ると、各切り口で $XY$ が最大になる点は右端の境界上にある。よって以上の辺の条件は内部に対しても十分である。

三角形の面積は$$S={\displaystyle \frac{r+s-rs}{2}}={\displaystyle \frac{1-(r-1)(s-1)}{2}}\mathrm{.}$$$-1\leqq r-1,s-1\leqq 1$ より $S\leqq 1$ であり、等号は$$(r,s)=(2,0),(0,2)$$で成り立つ。元に戻して$$(a,b)=(2c,0)\text{ または }(0,{\displaystyle \frac{2}{c}}),S_{\max }=1\mathrm{.}$$

標準化後、$(1,1)$ における双曲線の接線 $X+Y=2$ を利用して、二本の辺が領域内に入る条件を $r,s\leqq 2$ と読む。その長方形上で面積を一方の変数についての一次式として最大化する。

解法1と同じ面積を保つ変換により$$A=(r,0),B=(0,s),C=(1,1)$$としてよい。双曲線 $XY=1$ の $C$ における接線は$$X+Y=2$$である。$C$ から $X$ 軸上の点へ引く線分が接点直後で領域 $XY\leqq 1$ の外へ出ないためには、その点が $(2,0)$ より右へ出ないことが必要である。直接線分を代入すれば十分性も分かるので$$0\leqq r\leqq 2.$$同様に $0\leqq s\leqq 2$ である。

面積は$$S={\displaystyle \frac{r+s-rs}{2}}={\displaystyle \frac{r+(1-r)s}{2}}\mathrm{.}$$$0\leqq r\leqq 1$ のとき、固定した $r$ に対して $S$ は $s$ とともに増えるので$$S\leqq {\displaystyle \frac{r+2(1-r)}{2}}=1-{\displaystyle \frac{r}{2}}\leqq 1.$$等号は $(r,s)=(0,2)$ で成り立つ。

$1\leqq r\leqq 2$ のときは $S$ は $s$ とともに減るので$$S\leqq {\displaystyle \frac{r}{2}}\leqq 1.$$等号は $(r,s)=(2,0)$ で成り立つ。したがって最大値は1で、元の係数では$$(a,b)=(2c,0)\text{または}(a,b)=(0,{\displaystyle \frac{2}{c}})$$である。