東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

点 $P(a,b)$ に関して対称な点を考える。領域 $D$ は $y\geqq x^2$ である。点 $(x,y)$ が、$D$ の点 $(X,Y)$ を $P$ に関して対称移動した点であるとすると $X=2a-x,Y=2b-y$ である。条件 $Y\geqq X^2$ は $2b-y\geqq (2a-x{)}^2$ だから、$U$ は $U:y\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ で表される。

1. $D\cap U\mathrm{\ne }\varphi$ の条件 $D\cap U\mathrm{\ne }\varphi$ となるためには、ある $x$ について $x^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ となればよい。これは $x^2+(x-2a{)}^2\leqq 2b$ である。左辺の最小値は $x=a$ のとき $2a^2$ だから $b\geqq a^2$ が必要十分である。

2. $E\cap U\mathrm{\ne }\varphi$ の条件
同様に $E:y\geqq (x-4{)}^2$ なので、$E\cap U\mathrm{\ne }\varphi$ となるためには $(x-4{)}^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ となる $x$ が存在すればよい。すなわち $(x-4{)}^2+(x-2a{)}^2\leqq 2b$ である。左辺の最小値は $2(a-2{)}^2$ だから $b\geqq (a-2{)}^2$ が必要十分である。

3. $D\cap E\cap U=\varphi$ の条件 $D\cap E$ は、2つの放物線 $y=x^2,y=(x-4{)}^2$ の両方の上側である。この2つは $x=2$ で交わり、下側境界は$$\{\begin{array}{ll}y=(x-4{)}^2& (x\leqq 2),\\ y=x^2& (x\geqq 2)\end{array}$$である。

したがって $D\cap E\cap U$ が空でないためには、次のどちらかが成り立てばよい。 $x\leqq 2\text{ で }(x-4{)}^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2,$ または $x\geqq 2\text{ で }{x}^2\leqq 2b-(x-2a{)}^2$ である。

左側 $x\leqq 2$ では $(x-4{)}^2+(x-2a{)}^2$ の最小を考える。最小点は $x=a+2$ である。これが $x\leqq 2$ に入るのは $a\leqq 0$ のときで、この場合、条件 $b\geqq (a-2{)}^2$ がすでにあるため、必ず $D\cap E\cap U$ は空でなくなる。したがって求める点では $a>0$ でなければならない。

右側 $x\geqq 2$ では $x^2+(x-2a{)}^2$ の最小を考える。最小点は $x=a$ である。これが $x\geqq 2$ に入るのは $a\geqq 2$ のときで、この場合、条件 $b\geqq a^2$ がすでにあるため、やはり $D\cap E\cap U$ は空でなくなる。したがって求める点では $a<2$ でなければならない。

よって $0<a<2$ で考えればよい。このとき、上の2つの最小はいずれも境目 $x=2$ で生じる。したがって $D\cap E\cap U$ が空でない条件は $4\leqq 2b-(2-2a{)}^2$ である。これを避けるためには $4>2b-4(a-1{)}^2$ すなわち $b<2(a-1{)}^2+2$ でなければならない。

以上をまとめると、求める点 $P(a,b)$ 全体は $$0<a<2,b\geqq a^2,b\geqq (a-2{)}^2,b<2(a-1{)}^2+2$$ を同時に満たす部分である。
図示すると、$0<a<2$ の範囲で、2つの放物線 $b=a^2,b=(a-2{)}^2$ の上側にあり、放物線 $b=2(a-1{)}^2+2$ の下側にある領域である。下側の2つの境界は含み、上側の境界は含まない。

2本の下側境界の最大値と、開いた上側境界の間を取る

$U$ と $D$、$U$ と $E$ が重なる $x$ の範囲を、
それぞれ閉区間 $I_D,I_E$ として明示する。
$D\cap E$ の下側境界は $x=2$ で交代するため、
三重共通部分が空である条件は
$I_D$ が2より左、$I_E$ が2より右に離れることと同値になる。

点 $P(a,b)$ に関する点対称で $D$ を移した領域は$$U:y\leqq 2b-(x-2a{)}^2$$である。

$D\cap U\mathrm{\ne }\varphi$ となる $x$ は$$x^2+(x-2a{)}^2\leqq 2b,$$すなわち$$(x-a{)}^2\leqq b-a^2$$を満たす。したがって必要十分条件は $b\geqq a^2$ であり、
そのときの $x$ の区間は$$I_D=[a-\sqrt{b-a^2},a+\sqrt{b-a^2}]\mathrm{.}$$同様に $E\cap U\mathrm{\ne }\varphi$ の必要十分条件は
$b\geqq (a-2{)}^2$ であり、$$I_E=[a+2-\sqrt{b-(a-2{)}^2},a+2+\sqrt{b-(a-2{)}^2}]\mathrm{.}$$$x\leqq 2$ では $(x-4{)}^2\geqq x^2$ だから、
$D\cap E$ の下側境界は $E$ の放物線である。
$x\geqq 2$ では逆に $D$ の放物線が下側境界になる。
よって三重共通部分が空であるための必要十分条件は$$I_E\cap (-\mathrm{\infty },2]=\varphi ,I_D\cap [2,\mathrm{\infty })=\varphi \mathrm{.}$$端点を用いると$$a+2-\sqrt{b-(a-2{)}^2}>2,a+\sqrt{b-a^2}<2.$$これらから $0<a<2$ であり、両方を平方して$$b<a^2+(a-2{)}^2=2(a-1{)}^2+2$$を得る。逆にこの不等式と $0<a<2$ のもとでは上の2つの
区間が確かに $x=2$ の左右へ分離する。

以上より、求める点全体は$$0<a<2,b\geqq a^2,b\geqq (a-2{)}^2,b<2(a-1{)}^2+2\mathrm{.}$$下側の2本の放物線は境界を含み、上側の放物線は境界を含まない。