東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

直線 $l$ を $x$ 軸とし、2点を $$A=(-5,0),B=(5,0)$$ に置く。2直線 $l,m$ の距離を $d$ とし、$m$ を $y=d$ と書く。点 $P$ を $P=(x,d)$ とおく。

条件 $AP+BP=15$ を満たす点 $P$ の軌跡は、焦点が $A,B$、長軸の長さが $15$ の楕円である。半長軸は ${\displaystyle \frac{15}{2}}$ であり、中心から焦点までの距離は $5$ である。したがって短半径の2乗は $${\left({\displaystyle \frac{15}{2}}\right)}^2-5^2={\displaystyle \frac{225}{4}}-25={\displaystyle \frac{125}{4}}$$ である。よって楕円の方程式は $${\displaystyle \frac{x^2}{(15\mathrm{/}2{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{125\mathrm{/}4}}=1$$ となる。

点 $P$ は直線 $m$ 上を毎秒 $1$ mで動く。条件を満たす2つの時刻が5秒離れているので、その2点の間の距離は $5$ mである。直線 $m$ は $x$ 軸に平行だから、この2点の $x$ 座標の差も $5$ である。楕円は $y$ 軸対称なので、対応する2点は $x=\pm {\displaystyle \frac{5}{2}}$ とおける。

したがって点 $(5\mathrm{/}2,d)$ は楕円上にある。これを代入して $${\displaystyle \frac{(5\mathrm{/}2{)}^2}{(15\mathrm{/}2{)}^2}}+{\displaystyle \frac{d^2}{125\mathrm{/}4}}=1$$ を得る。第1項は $${\displaystyle \frac{25\mathrm{/}4}{225\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$$ だから $${\displaystyle \frac{d^2}{125\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$$ であり、$$d^2={\displaystyle \frac{125}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{9}}={\displaystyle \frac{250}{9}}$$ である。距離は正なので $$d={\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{3}}$$ である。

条件を満たす2点は垂直二等分線について対称で、速さと時刻差から横座標を $\pm 5\mathrm{/}2$ と決められる。片方の点から $A,B$ までの距離を直接書き、平方根を1つずつ外す。

$A=(-5,0),B=(5,0)$ とし、直線 $m$ を $y=d$ とする。
条件を満たす2点は $y$ 軸について対称であり、その間を毎秒 $1$ mで5秒かけて進むから$$P_1=(-{\displaystyle \frac{5}{2}},d),P_2=({\displaystyle \frac{5}{2}},d)$$と置ける。

$P_2$ について距離の和を書くと$$\sqrt{d^2+{\displaystyle \frac{225}{4}}}+\sqrt{d^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}}=15.$$ここで$$u=\sqrt{d^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}}$$と置けば、第1の平方根は $\sqrt{u^2+50}$ である。したがって$$\sqrt{u^2+50}=15-u\mathrm{.}$$両辺を平方して$$u^2+50=225-30u+u^2$$より$$u={\displaystyle \frac{35}{6}}\mathrm{.}$$ゆえに$$d^2=u^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}={\displaystyle \frac{1225-225}{36}}={\displaystyle \frac{250}{9}}\mathrm{.}$$$d>0$ だから、求める距離は$$d={\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{3}}$$である。