東京大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

三角形の向きは条件(ii)により常に一定である。したがって $\mathrm{△}ABC$ の動きは平行移動だけである。

まず $r=0$ の場合を考える。円 $O$ が1点に縮んだと見れば、三角形はその点を境界上に置きながら、内部には含まないように動く。ある点 $X$ が三角形の通過範囲に入ることは、三角形のある点を原点に合わせたときに $X$ が三角形内に入ることと同じである。したがって通過範囲は、もとの正三角形と向きの反対の正三角形を重ねてできる正六角形である。この正六角形の一辺は $a$ であり、正三角形 $ABC$ の面積を $$T=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$$ とすると、その面積は $6T$ である。

半径 $r$ の円の場合は、上で得た正六角形を外側へ距離 $r$ だけふくらませた図形が通過範囲になる。図示すれば、一辺 $a$ の正六角形の各辺の外側に幅 $r$ の帯を付け、6つの頂点を半径 $r$ の円弧で丸めた形である。

正六角形の周の長さは $6a$ だから、辺に沿って増える面積は $6ar$ である。また6つの頂点で増える円弧部分を合わせると、外角の和が $2\pi$ であるため、半径 $r$ の円1個分の面積 $\pi r^2$ になる。よって通過し得る範囲の面積 $S$ は $S=6T+6ar+\pi r^2$ である。

したがって $$\frac{S}{T}=6+\frac{6ar+\pi r^2}{T}$$ であり、$a$ は一定だから $$\underset{r\to 0}{\lim }\frac{S}{T}=6$$ である。