東京大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

共通接線を $y=mx+n$ とおく。

まず $C_1:y=x^2+\frac{1}{a^2}$ との接点の $x$ 座標を $p$ とすると、接線の傾きは $m=2p$ である。したがって $p=m\mathrm{/}2$ であり、接線の切片は$$n={\left(\frac{m}{2}\right)}^2+\frac{1}{a^2}-m\cdot \frac{m}{2}=-\frac{m^2}{4}+\frac{1}{a^2}\mathrm{.}$$次に $C_2:y=-(x-a{)}^2$ との接点の $x$ 座標を $q$ とすると、傾きは $m=-2(q-a)$ だから $$q=a-\frac{m}{2}$$ である。このとき接点の $y$ 座標は $-m^2\mathrm{/}4$ なので、接線の切片は $$n=-\frac{m^2}{4}-m(a-\frac{m}{2})=\frac{m^2}{4}-am\mathrm{.}$$ 共通接線であるためには2つの切片が等しいから $$-\frac{m^2}{4}+\frac{1}{a^2}=\frac{m^2}{4}-am$$ であり、$$\frac{m^2}{2}-am-\frac{1}{a^2}=0$$ を得る。

この2つの解を $m_1<m_2$ とする。解と係数の関係より $$m_1+m_2=2a,m_1{m}_2=-\frac{2}{a^2},$$ また $$m_2-m_1=2\sqrt{a^2+\frac{2}{a^2}}$$ である。 $C_1$ 上の接点を $P_i$、$C_2$ 上の接点を $Q_i$ とすると$$P_i=(\frac{m_i}{2},\frac{m_i^2}{4}+\frac{1}{a^2}),Q_i=(a-\frac{m_i}{2},-\frac{m_i^2}{4})$$である。四角形 $P_1{Q}_2{Q}_1{P}_2$ の面積を座標で計算すると $$S(a)=\frac{m_2-m_1}{4}\{a(m_1+m_2)+\frac{2}{a^2}-m_1{m}_2\}$$ となる。ここに上の関係式を代入して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =\frac{m_2-m_1}{4}(2a^2+\frac{4}{a^2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(a^2+\frac{2}{a^2})}^{3\mathrm{/}2}=\frac{(a^4+2{)}^{3\mathrm{/}2}}{a^3}\mathrm{.}}\end{array}$$あとは $a>0$ でこの値を最小にすればよい。微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{3(a^4-2)\sqrt{a^4+2}}{a^4}$$ である。したがって $S(a)$ は $a^4<2$ で減少し、$a^4>2$ で増加する。よって最小となるのは $a=2^{1\mathrm{/}4}$ のときである。その最小値は $$S(2^{1\mathrm{/}4})=\frac{4^{3\mathrm{/}2}}{2^{3\mathrm{/}4}}=2^{9\mathrm{/}4}$$ である。