東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

直角二等辺三角形を、頂点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ をもつ三角形としてよい。この三角形の面積は $\frac{1}{2}$ であり、重心は $$G=(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$$ である。

回転軸は三角形の内部を通らず、三角形と1つの頂点または1つの辺だけを共有する。三角形を回転軸に平行な細い帯に分けると、軸から距離 $r$ にある面積要素は、回転によりおよそ周長 $2\pi r$ をもつ薄い立体を作る。これを全体で足し合わせると、体積は $2\pi \cdot (\text{三角形の面積})\cdot (\text{重心から軸までの距離})$ である。三角形の面積は $\frac{1}{2}$ だから、体積は $V=\pi d$ となる。ただし $d$ は重心 $G$ から回転軸までの距離である。

したがって、許される直線のうち $G$ からの距離の最大・最小を求めればよい。3辺を含む直線への距離は、それぞれ $y=0:\frac{1}{3},$ $x=0:\frac{1}{3},$ $$x+y=1:\frac{\mathrm{\mid }\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}$$ である。よって最小距離は $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ である。

最大距離を考える。支持直線が1つの頂点を通るとき、重心からその直線までの距離は、重心とその頂点との距離を超えない。等号は、その直線が重心と頂点を結ぶ直線に垂直なときに成り立つ。各頂点と重心との距離は $(0,0):\frac{\sqrt{2}}{3},$ $$(1,0):\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{(-\frac{1}{3})}^2}=\frac{\sqrt{5}}{3},$$ $(0,1):\frac{\sqrt{5}}{3}$ である。したがって最大距離は $\frac{\sqrt{5}}{3}$ である。この距離は、例えば頂点 $(1,0)$ を通り、直線 $G(1,0)$ に垂直な支持直線で実現できる。

以上より、体積の最小値は $\frac{\pi }{3\sqrt{2}}$ であり、最大値は $\frac{\sqrt{5}\pi }{3}$ である。