東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

条件 $\max (x,y,z)\leqq a$ と非負条件から $0\leqq x,y,z\leqq a$ である。また $x+y+z-\min (x,y,z)$ は、3数のうち大きい方から2つの和である。したがって $R$ は、立方体 $0\leqq x,y,z\leqq a$ の中で、大きい2つの和が $a+b$ 以下となる部分である。

領域は $x,y,z$ の入れ替えに関して対称である。境界面上の重なりは体積に影響しないので、$$0\leqq z\leqq y\leqq x\leqq a$$ の部分を求めて6倍する。この部分では大きい2つは $x,y$ なので、条件は $x+y\leqq a+b$ である。

固定した $y$ に対して、$z$ は $0\leqq z\leqq y$ を動くので長さは $y$ である。また $x$ は $$y\leqq x\leqq a,x\leqq a+b-y$$ を満たす。ここで $a+b-y\geqq a$ となるのは $y\leqq b$ のときである。よって順序を固定した部分の体積は$${\int }_0^b{\int }_y^{a}ydxdy+{\int }_b^{(a+b)\mathrm{/}2}{\int }_y^{a+b-y}ydxdy$$である。これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{b}y(a-y)dy+{\int }_b^{(a+b)\mathrm{/}2}y(a+b-2y)dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2-3b^3}{24}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって全体の体積はこの6倍で、$$V={\displaystyle \frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2-3b^3}{4}}$$ である。

領域は立方体 $[0,a{]}^3$ のうち全ての二数の和が $a+b$ 以下となる部分である。補集合を $x+y>a+b$、$y+z>a+b$、$z+x>a+b$ の和集合として、単独・二重・三重の体積を包除原理で計算する。

$d=a-b>0$ とおく。$R$ の補集合を立方体 $0\leqq x,y,z\leqq a$ 内で$$E_{xy}=\{x+y>a+b\},E_{yz},E_{zx}$$の和集合として表す。

まず $E_{xy}$ の $xy$ 平面上の断面は、一辺 $d$ の直角二等辺三角形である。したがって$$\mathrm{\mid }{E}_{xy}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{a{d}^2}{2}}\mathrm{.}$$また $E_{xy}\cap E_{xz}$ では、固定した $x$ に対し$$b<x<a,a+b-x<y,z<a$$だから$$\mathrm{\mid }{E}_{xy}\cap E_{xz}\mathrm{\mid }={\int }_b^a(x-b{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{d^3}{3}}\mathrm{.}$$三つの事象の共通部分では$$u=a-x,v=a-y,w=a-z$$とおくと$$u+v<d,v+w<d,w+u<d$$となる。$u$ を固定した $vw$ 断面の面積を分けて積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{E}_{xy}\cap E_{yz}\cap E_{zx}\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\int }_0^{d\mathrm{/}2}\{(d-u{)}^2-{\displaystyle \frac{(d-2u{)}^2}{2}}\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{d\mathrm{/}2}^d(d-u{)}^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$包除原理より補集合の体積は$$3\cdot {\displaystyle \frac{a{d}^2}{2}}-3\cdot {\displaystyle \frac{d^3}{3}}+{\displaystyle \frac{d^3}{4}}={\displaystyle \frac{3a{d}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{3d^3}{4}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =a^3-{\displaystyle \frac{3a(a-b{)}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{3(a-b{)}^3}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2-3b^3}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$