東京大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

焦点 $F(0,1)$、準線 $y=-1$ の放物線は $x^2=4y$ である。したがって $P(a,b)$ は $$b=\frac{a^2}{4}$$ を満たす。

円 $C$ は中心 $P$ で準線 $y=-1$ に接するので、その半径は $b+1$ である。接点は $H=(a,-1)$ である。また放物線の定義より $PF=b+1$ でもある。したがって $PF$ と $PH$ はともに円 $C$ の半径であり、扇形 $PFH$ の中心角を $\theta$ とすると $$S(a)=\frac{1}{2}(b+1{)}^2\theta$$ である。

三角形 $PFH$ において、$F$ と $H$ の $x$ 座標の差は $a$ であるから $$\sin \theta =\frac{a}{b+1}$$ である。$a\to \mathrm{\infty }$ のとき $b+1=a^2\mathrm{/}4+1$ なので $\sin \theta \to 0$、従って $\theta \to 0$ である。よって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }a\theta =\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a^2}{b+1}\cdot \frac{\theta }{\sin \theta }=4$$である。したがって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S(a)}{a^3}=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}{\left(\frac{b+1}{a^2}\right)}^{2}a\theta =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}\cdot 4=\frac{1}{8}\mathrm{.}$$次に $G$ を求める。円 $C$ の方程式は $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=(b+1{)}^2$ である。$y$ 軸との交点では $x=0$ だから $a^2+(y-b{)}^2=(b+1{)}^2$ となる。$F(0,1)$ が一方の交点であるから、もう一方の交点 $G$ の $y$ 座標は、2解の和が $2b$ であることより $$2b-1=\frac{a^2}{2}-1$$ である。したがって $$FG=(\frac{a^2}{2}-1)-1=\frac{a^2}{2}-2$$ であり、点 $P$ から $y$ 軸までの距離は $a$ であるから $$T(a)=\frac{1}{2}a(\frac{a^2}{2}-2)\mathrm{.}$$ よって $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{T(a)}{a^3}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$ 以上より $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{T(a)}{S(a)}=\frac{1\mathrm{/}4}{1\mathrm{/}8}=2$$ である。