東京大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 一巡目に1枚置く人が3人、2枚置く人が2人なら、総数は7枚になる。従って$$Q={\displaystyle \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}{p}^3(1-p{)}^2=10p^3(1-p{)}^2\mathrm{.}$$$0<p<1$ で微分すると$$Q^{\mathrm{\prime }}=10p^2(1-p)(3-5p)\mathrm{.}$$従って最大にする値は$$p={\displaystyle \frac{3}{5}}$$であり、そのとき$$Q=10{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{216}{625}}\mathrm{.}$$(2) 5番の人が7枚目を置くのは、最初の4人が置いた枚数が次のいずれかの場合である。$$\begin{array}{cc}\text{最初の4人の総数}& \text{5番の人の条件}\\ 5& 2\text{枚置く}\\ 6& 1\text{枚または2枚置く}\end{array}$$最初の4人のうち2枚置く人が1人なら総数は5、2人なら総数は6である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R}& {\displaystyle =4p^3(1-p)\cdot (1-p)+{\displaystyle \frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}{p}^2(1-p{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4p^3(1-p{)}^2+6p^2(1-p{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2p^2(1-p{)}^2(2p+3)\mathrm{.}}\end{array}$$端点では $R=0$ である。$0<p<1$ で微分し、正の因子を除くと、極値条件は$$5p^2+3p-3=0$$となる。区間 $(0,1)$ にある解は$$p={\displaystyle \frac{\sqrt{69}-3}{10}}\mathrm{.}$$従ってこれが $R$ を最大にする $p$ である。

(3) 一人に注目する。一巡目に2枚置けば、二巡目には残り1枚を必ず置く。一巡目に1枚置いた場合、二巡目にも1枚だけ置く確率は $p$ である。従って二巡目終了時にその人の手元に1枚残る確率は$$p\cdot p=p^2\mathrm{.}$$よって、その人が二巡目までに置く枚数の期待値は$$3-p^2\mathrm{.}$$5人について期待値を加えると、テーブル上のコイン数の期待値は$$5(3-p^2)=15-5p^2\mathrm{.}$$

(1) (2)は「2枚置く人の人数」を二項分布として扱う。最大化は正の区間で対数微分または因数分解を用いる。(3)は各人の手元に残る1枚の指示変数を導入し、期待値の線形性を使う。

(1)
一巡目に2枚置く人の人数を $X$ とすると$$X\sim \mathrm{Bin}(5,1-p)\mathrm{.}$$総枚数は $5+X$ なので$$Q=\mathrm{Pr}(X=2)=10p^3(1-p{)}^2\mathrm{.}$$$0<p<1$ で対数微分すると$${\displaystyle \frac{Q^{\mathrm{\prime }}}{Q}}={\displaystyle \frac{3}{p}}-{\displaystyle \frac{2}{1-p}}\mathrm{.}$$よって唯一の停留点は $p=3\mathrm{/}5$。端点では $Q=0$ なのでここで最大となり、$$Q_{\max }=10{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{216}{625}}\mathrm{.}$$(2)
最初の4人のうち2枚置く人数を $Y$ とする。
$Y=1$ なら5番も2枚置く必要があり、$Y=2$ なら5番の選択によらず7枚目を置く。
したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R}& {\displaystyle =\mathrm{Pr}(Y=1)(1-p)+\mathrm{Pr}(Y=2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4p^3(1-p{)}^2+6p^2(1-p{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2p^2(1-p{)}^2(2p+3)\mathrm{.}}\end{array}$$微分を因数分解すると$$R^{\mathrm{\prime }}=-4p(1-p)(5p^2+3p-3)\mathrm{.}$$二次式は $(0,1)$ で1回だけ符号を負から正へ変えるので、$R$ はその根まで増加し、
その後減少する。よって最大にする値は$$p={\displaystyle \frac{\sqrt{69}-3}{10}}\mathrm{.}$$(3)
各人について、二巡後に1枚が手元に残る事象の指示変数を $I_j$ とする。
残るのは一巡目、二巡目とも1枚だけ置いた場合に限るので$$\mathrm{Pr}(I_j=1)=p^2,E[I_j]=p^2\mathrm{.}$$二巡後にテーブル上にある枚数は$$15-\sum _{j=1}^5{I}_j$$である。独立性を改めて仮定する必要はなく、期待値の線形性から$$E[15-\sum _{j=1}^5{I}_j]=15-5p^2\mathrm{.}$$