東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

さいころの目が $1,2,3,4,5,6$ のとき、$17$ をその目で割った余りは $0,1,2,1,2,5$ である。したがって$$P(X_1=0)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(X_1=1)={\displaystyle \frac{1}{3}},P(X_1=2)={\displaystyle \frac{1}{3}},P(X_1=5)={\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。以後、取りうる値は $0,1,2,5$ に限られる。

各値から次に0,1,2,5へ移る確率を確認しておく。$0$ はどの目で割っても余り0なので、必ず0へ移る。$1$ は1で割ったときだけ0、それ以外では1である。$2$ は1または2で割ったとき0、それ以外では2である。$5$ は1または5で割ったとき0、2または4で割ったとき1、3で割ったとき2、6で割ったとき5である。

(1)
上の遷移を用いて $X_2$ の分布を求める。$$P(X_2=0)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{18}}$$である。また $$P(X_2=1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}},$$ $$P(X_2=2)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{4}},P(X_2=5)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$$である。

値 $0,1,2,5$ から次に0となる確率は、それぞれ $1,{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。したがって$$P(X_3=0)={\displaystyle \frac{7}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}$$ $$={\displaystyle \frac{42+6+9+1}{108}}={\displaystyle \frac{58}{108}}={\displaystyle \frac{29}{54}}$$ である。

(2) $X_n=5$ となるには、まず $X_1=5$ でなければならない。さらに、値5から再び5になるのは6で割ったときだけである。したがって $X_1=5$ のあと、$n-1$ 回連続でさいころの目が6である必要がある。

よって $$P(X_n=5)={\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{6^n}}$$ である。

(3) $$u_n=P(X_n=1),v_n=P(X_n=5)$$ とおく。(2)より $v_n={\displaystyle \frac{1}{6^n}}$ である。

値1から次に1になる確率は $5\mathrm{/}6$ である。また値5から次に1になる確率は、2または4で割る場合なので $2\mathrm{/}6=1\mathrm{/}3$ である。値0または2からは次に1にならない。したがって $$u_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{u}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{v}_n={\displaystyle \frac{5}{6}}{u}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6^n}}$$ である。初期値は $u_1=1\mathrm{/}3$ である。

この漸化式を順に代入して解くと$$u_n={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{3}}+\sum _{j=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1-j}{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6^j}}$$である。和の一般項を整理すると$${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1-j}{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6^j}}={\displaystyle \frac{5^{n-1-j}}{3\cdot 6^{n-1}}}$$だから$$u_n={\displaystyle \frac{5^{n-1}}{3\cdot 6^{n-1}}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 6^{n-1}}}\sum _{j=1}^{n-1}{5}^{n-1-j}$$$$={\displaystyle \frac{1}{3\cdot 6^{n-1}}}(5^{n-1}+{\displaystyle \frac{5^{n-1}-1}{4}})={\displaystyle \frac{5^n-1}{12\cdot 6^{n-1}}}$$である。したがって $$P(X_n=1)={\displaystyle \frac{5^n-1}{12\cdot 6^{n-1}}}$$ である。

別解。$X_n=1$ となる経路を直接数えることもできる。最初から $X_1=1$ の場合は、その後に1を出さなければ1のままであるから ${\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}$ である。最初に $X_1=5$ となり、途中で初めて1に移る場合は、しばらく6で割って5を保ち、その後2または4で割って1に移り、以後1を出さない。移る時刻を足し合わせると$${\displaystyle \frac{1}{6}}\sum _{m=2}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^{m-2}{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-m}$$である。これを上の初項に加えて整理しても、同じく ${\displaystyle \frac{5^n-1}{12\cdot 6^{n-1}}}$ を得る。

状態を $0,1,2,5$ に限定し、遷移確率を行列として整理する。
$5$ の確率を先に解き、それを外力とする1次漸化式で $1$ の確率を求める。
$X_3=0$ は非吸収状態の確率を引く方法でも検算する。

状態の順を $0,1,2,5$ とすると、1回の遷移は$$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{5}{6}}& 0& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& 0& {\displaystyle \frac{2}{3}}& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\right)$$で表せる。各行は現在の状態、各列は次の状態に対応する。
初期分布は$$({\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{6}})$$である。

(1)
行列を2回作用させると$$P(X_2=0,1,2,5)=({\displaystyle \frac{7}{18}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{36}})\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X_3=0)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{29}{54}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
状態 $5$ へ入れるのは状態 $5$ からだけで、その確率は $1\mathrm{/}6$ である。
$v_n=P(X_n=5)$ とすれば$$v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{6}}{v}_n,v_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$よって$$P(X_n=5)=v_n={\displaystyle \frac{1}{6^n}}\mathrm{.}$$(3)
$u_n=P(X_n=1)$ とする。状態 $1$ からは確率 $5\mathrm{/}6$、
状態 $5$ からは確率 $1\mathrm{/}3$ で $1$ へ移るので$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{u}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{v}_n={\displaystyle \frac{5}{6}}{u}_n+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 6^n}}\mathrm{.}$$両辺に $6^n$ を掛け、$$w_n=6^{n-1}{u}_n$$とおくと$$w_{n+1}=5w_n+{\displaystyle \frac{1}{3}},w_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$そこで $z_n=w_n+{\displaystyle \frac{1}{12}}$ とおけば$$z_{n+1}=5z_n,z_1={\displaystyle \frac{5}{12}}\mathrm{.}$$ゆえに$$w_n={\displaystyle \frac{5^n-1}{12}},P(X_n=1)=u_n={\displaystyle \frac{5^n-1}{12\cdot 6^{n-1}}}\mathrm{.}$$