東京大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $x$ 軸に垂直な断面は半径 $\mathrm{\mid }{x}^l\sin nx\mathrm{\mid }$ の円であるから$$V_n=\pi {\int }_0^{2\pi }{x}^{2l}{\sin }^{2}nxdx\mathrm{.}$$$${\sin }^{2}nx={\displaystyle \frac{1-\cos 2nx}{2}}$$より$$V_n={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\int }_0^{2\pi }{x}^{2l}dx-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\int }_0^{2\pi }{x}^{2l}\cos 2nxdx\mathrm{.}$$第2項の積分は部分積分により $n\to \mathrm{\infty }$ で0に収束する。実際、端点項と残る積分はいずれも定数の $1\mathrm{/}n$ 倍で押さえられる。従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot \frac{(2\pi {)}^{2l+1}}{2l+1}\mathrm{.}$$すなわち$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n={\displaystyle \frac{\pi (2\pi {)}^{2l+1}}{2(2l+1)}}\mathrm{.}$$(2) 円筒殻法より$$W_n=2\pi {\int }_0^{2\pi }{x}^{l+1}\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx\mathrm{.}$$ここで連続関数 $g(x)=x^{l+1}$ に対し$$I_n={\int }_0^{2\pi }g(x)\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx$$を考える。区間を長さ $\pi \mathrm{/}n$ の $2n$ 個に分け、各区間で $u=nx-k\pi$ と置くと$$I_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=0}^{2n-1}{\int }_0^{\pi }g\left({\displaystyle \frac{k\pi +u}{n}}\right)\sin udu\mathrm{.}$$$g$ は閉区間で一様連続だから、$n\to \mathrm{\infty }$ で各積分中の $g((k\pi +u)\mathrm{/}n)$ を $g(k\pi \mathrm{/}n)$ に置き換えた全誤差は0に収束する。従って$$I_n-{\displaystyle \frac{2}{n}}\sum _{k=0}^{2n-1}g\left({\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\right)⟶0.$$右の和は$${\displaystyle \frac{2}{\pi }}\sum _{k=0}^{2n-1}g\left({\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\right){\displaystyle \frac{\pi }{n}}⟶{\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\int }_0^{2\pi }g(x)dx\mathrm{.}$$従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{W}_n=2\pi \cdot \frac{2}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{x}^{l+1}dx={\displaystyle \frac{4(2\pi {)}^{l+2}}{l+2}}\mathrm{.}$$

(1) は ${\sin }^{2}nx=(1-\cos 2nx)\mathrm{/}2$ と部分積分で振動項を消す。(2)は半周期区間ごとに単調な重み $x^{l+1}$ を端点値で挟み、上下のRiemann和が同じ極限へ行くことを示す。

(1)
円板法より$$V_n=\pi {\int }_0^{2\pi }{x}^{2l}{\sin }^2(nx)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\int }_0^{2\pi }{x}^{2l}dx-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\int }_0^{2\pi }{x}^{2l}\cos (2nx)dx\mathrm{.}$$最後の積分を1回部分積分すると、境界項は0で、絶対値は$${\displaystyle \frac{2l}{2n}}{\int }_0^{2\pi }{x}^{2l-1}dx$$以下だから0へ収束する。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n={\displaystyle \frac{\pi (2\pi {)}^{2l+1}}{2(2l+1)}}\mathrm{.}$$(2)
円筒殻法より$$W_n=2\pi {\int }_0^{2\pi }{x}^{l+1}\mathrm{\mid }\sin (nx)\mathrm{\mid }dx\mathrm{.}$$$I_k=[k\pi \mathrm{/}n,(k+1)\pi \mathrm{/}n]$ とする。$x^{l+1}$ は増加関数であり、$${\int }_{I_k}\mathrm{\mid }\sin (nx)\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{2}{n}}$$だから$${\displaystyle \frac{2}{n}}{\left({\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\right)}^{l+1}\leqq {\int }_{I_k}{x}^{l+1}\mathrm{\mid }\sin (nx)\mathrm{\mid }dx\leqq {\displaystyle \frac{2}{n}}{\left({\displaystyle \frac{(k+1)\pi }{n}}\right)}^{l+1}\mathrm{.}$$$k=0,\dots ,2n-1$ で加える。左右はともに、幅 $\pi \mathrm{/}n$ のRiemann和を
$2\mathrm{/}\pi$ 倍したものなので$${\int }_0^{2\pi }{x}^{l+1}\mathrm{\mid }\sin (nx)\mathrm{\mid }dx⟶{\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\int }_0^{2\pi }{x}^{l+1}dx\mathrm{.}$$はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{W}_n=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{2}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{(2\pi {)}^{l+2}}{l+2}}={\displaystyle \frac{4(2\pi {)}^{l+2}}{l+2}}\mathrm{.}$$