東京大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$$d_k={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{k^2-1}}}-1$$とおく。すると問題の左辺 $A_n$ は$$A_n=1-\sum _{k=2}^n{d}_k$$である。ここで$$d_k={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k^2-1}\{k+\sqrt{k^2-1}\}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2(k^2-1)}}\mathrm{.}$$最後の不等式は $$\sqrt{k^2-1}\leqq k$$ と同値である。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=2}^n{d}_k}& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\sum _{k=2}^n({\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <{\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$A_n>1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}>{\displaystyle \frac{6}{10}}$$であり、$i=6$ はすべての $n$ で条件を満たす。

一方、$d_k>1\mathrm{/}(2k^2)$ である。また正の量を平方して比較すれば$$d_2>{\displaystyle \frac{3}{20}},d_3>{\displaystyle \frac{3}{50}},d_4>{\displaystyle \frac{3}{100}},d_5>{\displaystyle \frac{1}{50}}$$が分かる。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=2}^{40}{d}_k}& {\displaystyle >{\displaystyle \frac{13}{50}}+5\cdot {\displaystyle \frac{1}{200}}+10\cdot {\displaystyle \frac{1}{800}}+20\cdot {\displaystyle \frac{1}{3200}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{243}{800}}>{\displaystyle \frac{3}{10}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここでは $6\leqq k\leqq 10$、$11\leqq k\leqq 20$、$21\leqq k\leqq 40$ の3群で $1\mathrm{/}(2k^2)$ をそれぞれ一様に下から押さえた。従って$$A_{40}<1-{\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{7}{10}},$$なので $i=7$ は条件を満たさない。

以上より最大の整数は$$i=6$$である。

各項を $(1-k^{-2}{)}^{-1\mathrm{/}2}-1$ と見る。
上からは望遠和、下からは平方して証明できる二次評価を用い、
$i=6$ の一様成立と $i=7$ の反例を別々に示す。

$$d_k={\displaystyle \frac{k}{\sqrt{k^2-1}}}-1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k^2-1}\{k+\sqrt{k^2-1}\}}}$$とおく。まず$$d_k\leqq {\displaystyle \frac{1}{2(k^2-1)}}$$だから$$\sum _{k=2}^n{d}_k\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\sum _{k=2}^n({\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})<{\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$したがって、すべての $n\geqq 2$ に対して$$n-\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{k}{\sqrt{k^2-1}}}=1-\sum _{k=2}^n{d}_k>{\displaystyle \frac{5}{8}}>{\displaystyle \frac{6}{10}}\mathrm{.}$$次に $0<x<1$ に対し$${(1+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{8}})}^2(1-x)=1-{\displaystyle \frac{5}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{15}{64}}{x}^4-{\displaystyle \frac{9}{64}}{x}^5<1.$$両辺は正なので$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x}}}>1+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{8}}\mathrm{.}$$$x=1\mathrm{/}{k}^2$ とすれば$$d_k>{\displaystyle \frac{1}{2k^2}}+{\displaystyle \frac{3}{8k^4}}\mathrm{.}$$よって $n=9$ では$$\sum _{k=2}^9{d}_k>\sum _{k=2}^9({\displaystyle \frac{1}{2k^2}}+{\displaystyle \frac{3}{8k^4}})={\displaystyle \frac{32327672734081}{107540213760000}}>{\displaystyle \frac{3}{10}}\mathrm{.}$$したがって左辺は $7\mathrm{/}10$ 未満となり、$i=7$ は不可能である。
以上より最大の整数は$$i=6.$$