東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
解と係数の関係より $$\alpha +\beta =4,\alpha \beta =1$$ である。したがって $s_1=\alpha +\beta =4$ である。また $$s_2={\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =16-2=14$$ であり、$$s_3={\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=64-12=52$$である。

さらに $\alpha$, $\beta$ はともに $x^2-4x+1=0$ を満たすので $x^2=4x-1$ である。これに $x^{n-2}$ を掛けると、$n\geqq 3$ について $x^n=4x^{n-1}-x^{n-2}$ となる。$x=\alpha ,\beta$ をそれぞれ代入して足せば $$s_n=4s_{n-1}-s_{n-2}(n\geqq 3)$$ である。

(2) $s_1=4$, $s_2=14$ は正の整数である。$s_{n-1}$, $s_{n-2}$ が整数なら、漸化式 $s_n=4s_{n-1}-s_{n-2}$ により $s_n$ も整数である。よって帰納的にすべての $s_n$ は整数である。

また $\alpha =2+\sqrt{3}>0$, $\beta =2-\sqrt{3}>0$ だから $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n>0$ である。したがって $s_n$ は正の整数である。

1の位を調べるため、$s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2$ も用いる。漸化式から $s_n\equiv 4s_{n-1}-s_{n-2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$ である。初めから並べると$$s_0\equiv 2,s_1\equiv 4,s_2\equiv 4,s_3\equiv 4\cdot 4-4\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$となり、以後 $2,4,4,2,4,4,\dots$ と周期3で繰り返す。$2003\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから $s_{2003}\text{ の1の位は }4$ である。

(3) $\beta =2-\sqrt{3}$ であり、$1<\sqrt{3}<2$ から $0<\beta <1$ である。したがって $0<{\beta }^{2003}<1$ である。 $$s_{2003}={\alpha }^{2003}+{\beta }^{2003}$$ だから $${\alpha }^{2003}=s_{2003}-{\beta }^{2003}$$ である。上の不等式より $$s_{2003}-1<{\alpha }^{2003}<s_{2003}$$ である。$s_{2003}$ は整数なので、${\alpha }^{2003}$ 以下の最大の整数は $s_{2003}-1$ である。(2)より $s_{2003}$ の1の位は4だから、求める1の位は $3$ である。

$\alpha =2+\sqrt{3},\beta =2-\sqrt{3}$ を明示し、共役な2数の和として整数性を捉える。
1の位は1項だけでなく連続する2項の組を状態とし、同じ組が戻ることで周期を確定する。

(1) $$\alpha +\beta =4,\alpha \beta =1$$だから$$s_1=4,s_2=4^2-2=14,s_3=4^3-3\cdot 4=52.$$また $\alpha ,\beta$ は $u^2=4u-1$ を満たすので、$$s_n=4s_{n-1}-s_{n-2}(n\geqq 3)\mathrm{.}$$(2)
$s_1,s_2$ は整数であり、上の漸化式の係数も整数だから、
帰納法により $s_n$ は整数である。また
$\alpha >0,\beta >0$ より $s_n>0$ である。

1の位について、連続する2項の組を10で考えると$$(s_0,s_1)\equiv (2,4),(s_1,s_2)\equiv (4,4),(s_2,s_3)\equiv (4,2),(s_3,s_4)\equiv (2,4)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)\mathrm{.}$$最初の組に戻ったので、この後も周期3である。
$2003\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ より、$s_{2003}$ の1の位は $4$ である。

(3) $$0<\beta =2-\sqrt{3}<1$$であるから$$0<{\beta }^{2003}<1.$$したがって$$s_{2003}-1<s_{2003}-{\beta }^{2003}={\alpha }^{2003}<s_{2003}\mathrm{.}$$よって ${\alpha }^{2003}$ 以下の最大の整数は $s_{2003}-1$ であり、
その1の位は $4-1=3$ である。