東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
記号を簡単にするため $f_k=f_n(kh)$ と書く。与えられた式は $${\displaystyle \frac{f_{k+1}-f_k}{h}}=(1-f_k)f_{k+1}$$ であるから $$f_{k+1}-f_k=h(1-f_k)f_{k+1}$$ である。両辺を $f_k{f}_{k+1}$ で割ると $${\displaystyle \frac{1}{f_k}}-{\displaystyle \frac{1}{f_{k+1}}}=h({\displaystyle \frac{1}{f_k}}-1)$$ となる。 $p_k=1\mathrm{/}{f}_k$ とおくと $p_k-p_{k+1}=h(p_k-1)$ であり、したがって $p_{k+1}=(1-h)p_k+h$ である。両辺から $1$ を引けば $p_{k+1}-1=(1-h)(p_k-1)$ となる。$p_0=1\mathrm{/}c$ だから $$p_k-1=({\displaystyle \frac{1}{c}}-1)(1-h{)}^k$$ であり、$$p_k=1+({\displaystyle \frac{1}{c}}-1)(1-h{)}^k$$ である。

(2) $a$ に対応する点は $k=n$ であり、$h=a\mathrm{/}n$ である。(1)より $$f_n(a)={\displaystyle \frac{1}{1+({\displaystyle \frac{1}{c}}-1){(1-{\displaystyle \frac{a}{n}})}^n}}$$ である。ここで $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{a}{n}})}^n=e^{-a}$$ なので $$g(a)={\displaystyle \frac{1}{1+({\displaystyle \frac{1}{c}}-1)e^{-a}}}$$ である。分母分子に $c{e}^a$ を掛けると $$g(a)={\displaystyle \frac{c{e}^a}{c{e}^a+1-c}}$$ である。

(3) $x>0$ に対して $$g(x)={\displaystyle \frac{c{e}^x}{c{e}^x+1-c}}$$ である。また微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{c{e}^x(1-c)}{(c{e}^x+1-c{)}^2}}$$ である。 $c=2$ のとき $$g(x)={\displaystyle \frac{2e^x}{2e^x-1}}$$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ だから単調減少である。$x=0$ まで延長すれば $g(0)=2$ であり、$x\to \mathrm{\infty }$ で $g(x)\to 1$ となる。したがって $x>0$ では $1$ より大きい側から $1$ に近づく曲線である。 $c=1$ のとき $g(x)=1$ であり、グラフは水平直線 $y=1$ である。 $c={\displaystyle \frac{1}{4}}$ のとき $$g(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+3}}$$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ だから単調増加である。$x=0$ まで延長すれば $g(0)=1\mathrm{/}4$ であり、$x\to \mathrm{\infty }$ で $g(x)\to 1$ となる。したがって $x>0$ では $1$ より小さい側から $1$ に近づく曲線である。

以上を図示すれば、$c=2$ は上から $y=1$ に近づく減少曲線、$c=1$ は $y=1$、$c=1\mathrm{/}4$ は下から $y=1$ に近づく増加曲線である。

差分方程式を $f_{k+1}$ について解き、得られる分数変換を反復する。閉じた式を数学的帰納法で直接確認し、極限後は $g^{\mathrm{\prime }}=g(1-g)$ を使って3本のグラフの増減と曲がり方まで決める。

(1)
$f_k=f_n(kh)$ と略記する。与式を $f_{k+1}$ について解くと$$f_{k+1}={\displaystyle \frac{f_k}{1-h+h{f}_k}}\mathrm{.}$$ここから$$f_k={\displaystyle \frac{c}{c+(1-c)(1-h{)}^k}}$$と予想できる。$k=0$ では明らかに成り立つ。これを上の漸化式へ代入すると$$f_{k+1}={\displaystyle \frac{c}{c+(1-c)(1-h{)}^{k+1}}}$$となるので、帰納法により成立する。したがって$$p_k={\displaystyle \frac{1}{f_k}}=1+({\displaystyle \frac{1}{c}}-1)(1-h{)}^k\mathrm{.}$$(2)
極限に必要な十分大きい $n$ では $0<h=a\mathrm{/}n<1$ である。$k=n$ として$$f_n(a)={\displaystyle \frac{c}{c+(1-c)(1-a\mathrm{/}n{)}^n}}\mathrm{.}$$$(1-a\mathrm{/}n{)}^n\to e^{-a}$ より$$g(a)={\displaystyle \frac{c}{c+(1-c)e^{-a}}}={\displaystyle \frac{c{e}^a}{c{e}^a+1-c}}\mathrm{.}$$(3)
$x>0$ に対し$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)\{1-g(x)\}\mathrm{.}$$$c=2$ では $g(0)=2$、$g>1$ なので単調減少し、上側から漸近線 $y=1$ に近づく。
$c=1$ では恒等的に $g(x)=1$ である。
$c=1\mathrm{/}4$ では $g(0)=1\mathrm{/}4$、$0<g<1$ なので単調増加し、下側から $y=1$ に近づく。
さらに$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=g(x)\{1-g(x)\}\{1-2g(x)\}$$より、$c=1\mathrm{/}4$ の曲線は $g=1\mathrm{/}2$、すなわち $x=\log 3$ で変曲する。
これらの情報から3本のグラフが一意に定まる。