東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
解と係数の関係より $$\alpha +\beta =4,\alpha \beta =-1$$ である。したがって $s_1=4$ であり、$$s_2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =16+2=18$$ である。また $$s_3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=64+12=76$$ である。 $\alpha$, $\beta$ はともに $x^2-4x-1=0$ の解なので $x^2=4x+1$ を満たす。両辺に $x^{n-2}$ を掛けると、$n\geqq 3$ について $x^n=4x^{n-1}+x^{n-2}$ である。$x=\alpha ,\beta$ を代入して足し合わせると $$s_n=4s_{n-1}+s_{n-2}(n\geqq 3)$$ を得る。

(2) $\beta =2-\sqrt{5}$ である。$2<\sqrt{5}<3$ より $-1<\beta <0$ である。3乗しても負で、絶対値は1より小さいから $-1<{\beta }^3<0$ である。したがって ${\beta }^3$ 以下の最大の整数は $-1$ である。

(3) $s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2$ とする。漸化式を10で割った余りで見ると $s_n\equiv 4s_{n-1}+s_{n-2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$ である。初めから計算すると$$s_0\equiv 2,s_1\equiv 4,s_2\equiv 8,s_3\equiv 6,s_4\equiv 4\cdot 6+8\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$である。したがって1の位は $2,4,8,6,2,4,8,6,\dots$ と周期4で繰り返す。$2003\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ より、$s_{2003}$ の1の位は6である。

また $2003$ は奇数であり、$-1<\beta <0$ だから $-1<{\beta }^{2003}<0$ である。したがって $${\alpha }^{2003}=s_{2003}-{\beta }^{2003}$$ は $$s_{2003}<{\alpha }^{2003}<s_{2003}+1$$ を満たす。$s_{2003}$ は漸化式と初期値から整数であるため、${\alpha }^{2003}$ 以下の最大の整数は $s_{2003}$ である。よって求める1の位は $6$ である。

$\alpha =2+\sqrt{5},\beta =2-\sqrt{5}$ と共役を明示する。
整数性は漸化式で、1の位は連続2項の状態が戻ることから周期4を確定する。
最後に奇数乗であることから ${\beta }^{2003}$ の符号を判定する。

(1) $$\alpha +\beta =4,\alpha \beta =-1$$より$$s_1=4,s_2=4^2+2=18,s_3=4^3+3\cdot 4=76.$$また $\alpha ,\beta$ は $u^2=4u+1$ を満たすので$$s_n=4s_{n-1}+s_{n-2}(n\geqq 3)\mathrm{.}$$(2)$$-1<2-\sqrt{5}=\beta <0$$である。したがって$$-1<{\beta }^3<0$$であり、${\beta }^3$ 以下の最大の整数は $-1$ である。

(3)
$s_0=2$ として連続2項の組を10で追うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (s_0,s_1)}& {\displaystyle \equiv (2,4),}\\ {\displaystyle (s_1,s_2)}& {\displaystyle \equiv (4,8),}\\ {\displaystyle (s_2,s_3)}& {\displaystyle \equiv (8,6),}\\ {\displaystyle (s_3,s_4)}& {\displaystyle \equiv (6,2),}\\ {\displaystyle (s_4,s_5)}& {\displaystyle \equiv (2,4)}\end{array}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)\mathrm{.}$$したがって周期は4であり、$2003\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だから
$s_{2003}$ の1の位は $6$ である。

また $2003$ は奇数なので$$-1<{\beta }^{2003}<0.$$ゆえに$$s_{2003}<{\alpha }^{2003}=s_{2003}-{\beta }^{2003}<s_{2003}+1.$$したがって ${\alpha }^{2003}$ 以下の最大の整数は $s_{2003}$ であり、
その1の位は $6$ である。