東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

最初に $x$ リットルの水が入っていたビーカーを $X$ と呼ぶ。初めに $X$ 以外のビーカーには、すべて $x$ リットル未満の水しか入っていない。

(1) $x<1\mathrm{/}3$ とする。$X$ が途中で取り除かれず、かつ最後まで水の量が $x$ のまま増えないと仮定して矛盾を導く。

最後の操作の直前には、水の入っているビーカーが3個ある。そのうち1個は $X$ であり、他の2個の水量を $y,z$ とする。この時点でも総水量は1リットルなので $y+z=1-x$ である。いま $x<1\mathrm{/}3$ だから $y+z=1-x>{\displaystyle \frac{2}{3}}>2x$ である。したがって $y,z$ がともに $x$ 以下であることはできず、少なくとも一方は $x$ より大きい。

すると、3個の水量 $x,y,z$ のうち、$X$ の水量 $x$ は大きい方から1番目になることはない。すなわち $X$ は水量の少ない2個の中に必ず含まれる。最後の操作では水量の少ない2個が選ばれるので、$X$ は必ず選ばれる。

もし $X$ が(a)で選ばれたビーカーなら、その水は別のビーカーへ移され、$X$ は空になって取り除かれる。もし $X$ が(b)で選ばれたビーカーなら、別のビーカーの水が $X$ に移されるので、$X$ の水量は $x$ より増える。いずれも仮定に反する。

よって $X$ は、操作の途中で空になって取り除かれるか、または最後まで残って水の量が増えている。

(2) $x>2\mathrm{/}5$ とする。$X$ 以外のビーカーを非特別ビーカーと呼ぶ。$X$ が選ばれない限り、非特別ビーカー全体の水量は $1-x$ のままである。

非特別ビーカーが3個以上ある段階を考える。その中で水量の最も少ない2個を $y\leqq z$ とする。もし $y+z\geqq x$ なら、3番目に少ない非特別ビーカーの水量は少なくとも $z$ であるから、非特別ビーカー全体の水量は少なくとも $y+2z$ である。ここで $y\leqq z$ かつ $y+z\geqq x$ より、$z\geqq x\mathrm{/}2$ である。したがって $$y+2z=(y+z)+z\geqq x+{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}x$$ となる。よって $1-x\geqq {\displaystyle \frac{3}{2}}x$ が必要であるが、これは $x\leqq {\displaystyle \frac{2}{5}}$ を意味し、$x>2\mathrm{/}5$ に反する。

したがって、非特別ビーカーが3個以上ある間、その中で最も少ない2個の水量の和は常に $x$ 未満である。

初め、非特別ビーカーの水量はいずれも $x$ 未満である。いま非特別ビーカーが3個以上あり、すべての非特別ビーカーの水量が $x$ 未満であるとする。このとき、全体の中で水量の最も少ない2個は $X$ ではなく非特別ビーカーである。さらに上で示したことから、その2個を合併してできるビーカーの水量も $x$ 未満である。

よって帰納的に、非特別ビーカーが2個になるまで、操作で選ばれるのは常に非特別ビーカー同士であり、合併後も各非特別ビーカーの水量は $x$ 未満である。

最後の操作の直前には、$X$ と非特別ビーカー2個が残っている。この2個の非特別ビーカーはいずれも $x$ 未満であるから、水量の少ない2個として選ばれるのはその2個であり、$X$ は選ばれない。したがって $X$ は最後まで $x$ リットルの水が入ったままで残る。

特別なビーカー $X$ が結論に反する最初の時刻を考える。
(1)は最後の3個の総量、(2)は初めて非特別ビーカーの合併量が
$x$ 以上になる時刻を用いて矛盾を導く。

最初に $x$ リットル入っていたビーカーを $X$ とする。

(1)

$X$ が取り除かれず、水量も増えないまま最後まで残ると仮定する。
最後の操作直前の他の2個の水量を $y,z$ とすると$$y+z=1-x>2x\mathrm{.}$$したがって $y,z$ の少なくとも一方は $x$ より大きく、
$X$ は3個のうち少ない方の2個に必ず入る。
最後の操作で $X$ が(a)に選ばれれば取り除かれ、
(b)に選ばれれば水量が増える。いずれも仮定に反する。

(2)

$X$ 以外の2個を合併して初めて水量が $x$ 以上になる操作が
存在すると仮定する。その直前、選ばれる2個を $y\leqq z$ とする。
まだ非特別ビーカーは3個以上あるから、別の1個の水量は $z$ 以上である。
$y+z\geqq x$ なら$$1-x\geqq y+2z\geqq (y+z)+{\displaystyle \frac{y+z}{2}}\geqq {\displaystyle \frac{3x}{2}}\mathrm{.}$$これは $x\leqq 2\mathrm{/}5$ を意味し、仮定 $x>2\mathrm{/}5$ に反する。

よって非特別ビーカー同士の合併後の水量は、最後まで $x$ 未満である。
したがって非特別ビーカーが2個になるまで $X$ は最小2個に入らず、
最後の操作でもその2個だけが選ばれる。
ゆえに $X$ は水量 $x$ のまま最後まで残る。