東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

漸化式から $$a_1=1,a_2=i,a_3=1+i,a_4=1+2i$$ である。したがって $$b_1={\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}=i,$$ $$b_2={\displaystyle \frac{a_3}{a_2}}={\displaystyle \frac{1+i}{i}}=1-i,$$ $$b_3={\displaystyle \frac{a_4}{a_3}}={\displaystyle \frac{1+2i}{1+i}}={\displaystyle \frac{(1+2i)(1-i)}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$$である。

円の中心を $(\alpha ,\beta )$、半径を $R$ とする。3点 $(0,1)$、$(1,-1)$、$(3\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$ が円上にあるので $${\alpha }^2+(1-\beta {)}^2=R^2,$$ $$(1-\alpha {)}^2+(-1-\beta {)}^2=R^2,$$ $${({\displaystyle \frac{3}{2}}-\alpha )}^2+{({\displaystyle \frac{1}{2}}-\beta )}^2=R^2$$ である。第1式と第2式を引くと $2\alpha -4\beta =1$ である。また、第1式と第3式を引くと $3\alpha -\beta ={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。これらを連立して $$\beta =0,\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を得る。よって $$R^2={(0-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+1^2={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ である。

したがって円 $C$ の中心は実数 $1\mathrm{/}2$ を表す点、半径は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}}$ である。中心も合わせて書けば ${\displaystyle \text{中心 }{\displaystyle \frac{1}{2}},\text{半径 }{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}}$ である。

(2)

まず $b_{n+1}$ と $b_n$ の関係を求める。定義と漸化式より$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{a_{n+1}}}=1+{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}=1+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$$である。

(1) で求めた円 $C$ の方程式は $${(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ すなわち $x^2-x+y^2=1$ である。

ここで $z=x+yi$ が円 $C$ 上にあるとする。この円は原点を通らないので $z\mathrm{\ne }0$ である。$X+Yi=1+1\mathrm{/}z$ とおくと$$1+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1+{\displaystyle \frac{x-yi}{x^2+y^2}}=(1+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}})-{\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}i$$だから $$X=1+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}},Y=-{\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X^2-X+Y^2}& {\displaystyle ={(1+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}})}^2-(1+{\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}})+{\displaystyle \frac{y^2}{(x^2+y^2{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}}+{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x+1}{x^2+y^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$z$ が円 $C$ 上にあるので $x^2-x+y^2=1$ であり、これは $x^2+y^2=x+1$ を意味する。したがって $X^2-X+Y^2=1$ である。つまり $z$ が円 $C$ 上にあるなら、$1+1\mathrm{/}z$ も円 $C$ 上にある。

(1) より $b_1$ は円 $C$ 上にある。さらに $b_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$ であるから、上で示した性質を繰り返し用いれば、数学的帰納法によりすべての $b_n$ は円 $C$ の周上にある。

最初の3点から円を決める。
円を $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{Re}z+1$ と表し、
変換 $z\mapsto 1+1\mathrm{/}z$ がこの等式を保つことを絶対値だけで確認する。

(1) $$b_1=i,b_2=1-i,b_3={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i\mathrm{.}$$3点の垂直二等分線を求めると、円 $C$ の中心は $1\mathrm{/}2$、
半径は $\sqrt{5}\mathrm{/}2$ である。したがって円の方程式は$${\mid z-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid }^2={\displaystyle \frac{5}{4}},$$すなわち$$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{Re}z+1.$$(2)

漸化式から$$b_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}\mathrm{.}$$$z$ が $C$ 上にあり、$w=1+1\mathrm{/}z$ とする。
円 $C$ は原点を通らないので $z\mathrm{\ne }0$ である。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{Re}w-1}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}}-(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{Re}z}{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}})-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{Re}z+1-\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$よって $w$ も $C$ 上にある。
$b_1=i$ は $C$ 上にあるから、帰納法により
すべての $b_n$ は $C$ の周上にある。