東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $d=a-b$ とおく。初めは $d=0$ である。$d=0$ のとき、表なら $A$ だけが1進むので $d=1$、裏なら $B$ だけが1進むので $d=-1$ となる。したがって $d=0$ から次に $d=0$ になることはない。 $d=1$ のときは、表なら $A,B$ がともに1進んで $d=1$ のままであり、裏なら $B$ だけが1進んで $d=0$ となる。$d=-1$ のときも同様に、2通りのうち1通りだけが $d=0$ へ戻る。

よって、$n$ 回後に $d\mathrm{\ne }0$ である $2^n-X_n$ 通りから、それぞれ1通りずつ $n+1$ 回後に $d=0$ となる。したがって $${\displaystyle X_{n+1}=2^n-X_n}$$ である。

(2) $X_1=0$ である。(1)の漸化式に対し、$$Y_n=X_n-{\displaystyle \frac{2^n}{3}}$$ とおくと $Y_{n+1}=-Y_n$ である。また $Y_1=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ だから $$Y_n={\displaystyle \frac{2(-1{)}^n}{3}}$$ である。したがって $${\displaystyle X_n={\displaystyle \frac{2^n+2(-1{)}^n}{3}}}$$ である。

(3) $n$ 回後の $a+b$ の平均を $E_n$ とする。規則は $A$ と $B$、表と裏を入れ替えても対称なので、$a$ の平均と $b$ の平均は等しい。したがって求める $a$ の平均は ${\displaystyle \frac{E_n}{2}}$ である。 $j$ 回後に $d=0$ である割合は $X_j\mathrm{/}{2}^j$ である。ただし $j=0$ ではまだ何も投げていないので $X_0=1$ とおく。この値は $$X_0={\displaystyle \frac{2^0+2(-1{)}^0}{3}}=1$$ であり、(2)の式と一致している。

次の1回で $a+b$ がどれだけ増えるかを調べる。$d=0$ のときは、表でも裏でも片方だけが1進むので、$a+b$ の増加量は1である。$d\mathrm{\ne }0$ のときは、2通りのうち一方では2点がともに1進んで増加量2、もう一方では片方だけが1進んで増加量1である。したがって平均増加量は $${\displaystyle \frac{2+1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

よって $j$ 回後から $j+1$ 回後への $a+b$ の平均増加量は$$1\cdot {\displaystyle \frac{X_j}{2^j}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}(1-{\displaystyle \frac{X_j}{2^j}})={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{X_j}{2^j}}$$である。したがって$$E_n=\sum _{j=0}^{n-1}\{{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{X_j}{2^j}}\}$$となる。

(2) より $${\displaystyle \frac{X_j}{2^j}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2(-1{)}^j}{3\cdot 2^j}}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_n}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{n-1}\{{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{(-1{)}^j}{3\cdot 2^j}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{n-1}\{{\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4n}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4n}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $a$ の平均は $${\displaystyle \frac{E_n}{2}}={\displaystyle \frac{2n}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$ である。すなわち ${\displaystyle {\displaystyle \frac{6n-1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n}$ である。

差 $d=a-b$ の3状態で場合の数を数え、
偶数番・奇数番に分けて $X_n$ を求める。
(3)は各状態における $a$ の1回の増加量を直接平均して総和する。

(1)

$d=a-b$ は $-1,0,1$ のいずれかである。
$d=0$ からは0へ戻らず、$d=\pm 1$ からは表裏の一方だけで0へ戻るので$$X_{n+1}=2^n-X_n\mathrm{.}$$(2)$$X_{n+2}=2^n+X_n,X_0=1,X_1=0.$$偶数番・奇数番を別々に足すと$$X_{2m}={\displaystyle \frac{4^m+2}{3}},X_{2m+1}={\displaystyle \frac{2(4^m-1)}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$X_n={\displaystyle \frac{2^n+2(-1{)}^n}{3}}\mathrm{.}$$(3)

$j$ 回後に $d=0$ である確率を $p_j=X_j\mathrm{/}{2}^j$ とする。
対称性から $d=1$ と $d=-1$ の確率はともに
$(1-p_j)\mathrm{/}2$ である。

次の1回における $a$ の平均増加量は、
$d=0$ と $d=1$ では $1\mathrm{/}2$、$d=-1$ では1である。
よって$${\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_j+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1-p_j}{2}}+1\cdot {\displaystyle \frac{1-p_j}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_j\mathrm{.}$$$$p_j={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j$$を $j=0,\dots ,n-1$ について足すと、求める平均は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}({\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_j)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{n-1}\{{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6n-1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}}\end{array}$$