東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$n$ 回目に $A$ が勝つには、$n$ 回目の直前に $A$ がコインを持っており、その時点で $A$ の得点がちょうど1点でなければならない。そして $n$ 回目に表が出て、$A$ が2点目を得る。

最初から $n-1$ 回目までを考える。この間に出た裏の個数が偶数ならコインは $A$ が持ち、奇数なら $B$ が持つ。したがって、裏の個数が偶数の状態で出た表は $A$ の得点、裏の個数が奇数の状態で出た表は $B$ の得点になる。 $m=n-1$ とする。$m$ 回目までの列は、裏の個数が偶数で、$A$ の表が1回、$B$ の表が0回または1回でなければならない。

裏が $2r$ 回出たとする。すると、$A$ が持っている区間は $r+1$ 個、$B$ が持っている区間は $r$ 個ある。$A$ の表はちょうど1回なので、どの $A$ の区間で表を出すかは $r+1$ 通りである。 $B$ の表が0回のとき、列の長さは $2r+1$ であり、個数は $r+1$ 通りである。これは $m$ が奇数のときで、$$r=\frac{m-1}{2}$$ だから個数は $\frac{m+1}{2}$ である。 $B$ の表が1回のとき、列の長さは $2r+2$ であり、$B$ のどの区間で表を出すかを選ぶので個数は $r(r+1)$ である。これは $m$ が偶数のときで、$$r=\frac{m}{2}-1$$ だから個数は $\frac{m}{2}(\frac{m}{2}-1)$ である。

最後の $n$ 回目は表でなければならない。したがって$$p(n)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}}& (n\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}}}& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。なお奇数の場合は $n=1,3$ でも右辺は $0$ となり、実際その回数では $A$ は勝てない。